Методическое пособие 769

Расммотренные основные понятия и определения будут использованы в дальнейших главах настоящего издания при рассмотрении различного рода теплофизических процессов.

Контрольные вопросы

1.Что изучает теплофизика?

2.Каков механизм переноса теплоты теплопроводностью?

3.За счет каких сил возможно возникновение вынужденной конвекции? Приведите примеры.

4.В чем суть механизма теплопередачи?

5.В чем отличие процессов теплоотдачи и теплопередачи?

6.Что такое сложный теплообмен?

7.Как можно записать выражение для двухмерного нестационарного поля температур?

8.Как связаны между собой тепловой поток и его плотность?

9.Что такое изоконцентрата?

10.В чем заключается аналогия при описании процессов тепло- и массообмена? Приведите примеры.

10

2.ПЕРЕДАЧА ТЕПЛОТЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ

2.1.Закон Фурье

Вначале 19 века была высказана гипотеза о пропорциональности вектора теплового потока градиенту температуры, которая впоследствии получила название закона Фурье:

gradt. (2.1)

Векторы удельного теплового потока и градиента температуры направлены в разные стороны (знак «минус» в законе), а коэффициент теплопроводности ,Вт м К , по сути, является множителем пропорциональности. Для

площадки, произвольно ориентированной в пространстве, градиент температуры определяется как

а для полного теплового потока через поверхность закон запишется в виде

где dS dF cos n,l – элементарная площадка, перпендикулярная направлению l (рис. 2.1).

Рис. 2.1. К определению градиента температур

Теплопроводность является теплофизической характеристикой вещества. Для различных веществ при одинаковых градиентах температур, площади поверхности и времени количество теплоты будет определяться лишь коэффициентом теплопроводности. Из закона Фурье следует, что чем больше теплопроводность, тем выше способность вещества проводить теплоту и наоборот.

11

Всвою очередь, коэффициент теплопроводности зависит от вида среды,

еетемпературы, давления и структуры (ортотропная или анизотропная среда). Значение коэффициента теплопроводности в зависимости от изложенных факторов может сильно изменяться.

Самыми теплопроводными являются металлы и их сплавы. Диапазон из-

менения коэффициента достаточно широк и лежит в диапазоне2...450Вт м К . Наименьшее значение относится к кобальту, а наиболь-

шее к серебру. У большинства металлов с ростом температуры коэффициент теплопроводности уменьшается. Механизм теплопроводности определяется диффузией свободных электронов. Следует отметить, что добавление к чистому металлу примесей, даже в небольшом количестве, ведет к резкому уменьшению коэффициента теплопроводности, а зависимость от температуры может стать крайне нелинейной (рис. 2.2).

уменьшается. Исключение составляют вода и глицерин, когда одновременно с ростом температуры наблюдается и рост коэффициента теплопроводности.

Это связано с тем, что такие материалы имеют дисперсную анизотропную структуру. Кроме того, их теплопроводность сильно зависит от пористости и влажности.

12

Рис. 2.3. Зависимость коэффициента теплопроводности жидкостей от температуры [8]: 1 – вазелиновое масло; 2 – бензол; 3 – ацетон; 4 – касторовое масло; 5 – этиловый спирт; 6 – метиловый спирт; 7 – глицерин; 8 – вода

Отдельно выделяют строительные материалы с 0,023...2,9Вт м К ,

для которых с ростом температуры коэффициент теплопроводности увеличивается (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры для строительных материалов [8]: 1 – воздух; 2 – минеральная шерсть; 3 – шлаковая вата; 4 – ньювельт; 6, 7, 8, 9 – диатомитовый, красный, шлакобетоннный, шамотный кирпич

составляют водород и гелий, имеющие теплопроводность примерно на порядок

13

выше остальных газов и увеличивающуюся с ростом температуры. Теплопроводность газов слабо зависит от давления. Ярко выраженные изменения теплопроводности происходят лишь при достаточно низких (около 0,3 МПа) и очень высоких давлениях (более 200 МПа). Однако теплопроводность водяного пара и реальных газов сильно зависит от давления.

Рис. 2.5. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры для газов [8]: 1 –водяной пар; 2 – углекислый газ; 3 – воздух; 4 – аргон; 5 – кислород; 6 – азот

Теплопроводность газовых смесей не подчиняется законам аддитивности и определяется на основании опытных данных.

2.2. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Решение практических задач теплопроводности связано с нахождением температурного поля в теле. Для этого необходимо описать процессы, происходоящие в нем и на его границах, с помощью дифференциального уравнение теплопроводности. При построении математической модели примем следующие допущения:

-тело однородно и изотропно по всем направлениям;

-физические параметры постоянны и равны своим средним значениям;

-изменение температуры не оказывает влияние на деформацию тела;

-внутренние источники тепловыделения распределены равномерно.

14

Интеграл будет равен нулю, если характеристики в уравнении будут являться непрерывными функциями координат и времени, а объем будет произвольным. В итоге получим дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье-Кирхгофа:

или в случае постоянной теплопроводности

где a cV , м2с – температуропроводность тела: теплофизическая

характеристика вещества определяющая его способность выравнивать температуру. Тела, имеющие большую температуропроводность, нагреваются (охлаждаются) значительно быстрее тел с меньшей температуропроводностью.

Полученное дифференциальное уравнение справедливо для декартовой системы координат. Для цилиндрической системы координат (рис. 2.7) оно запишется в виде

а в случае постоянного значения коэффициента теплопроводности:

Рис. 2.7. Цилиндрическая система координат

При тепловой анизотропии, когда теплопроводность зависит от направления, дифференциальное уравнение принимает вид

16

Полученное дифференциальное уравнение описывает множество явлений теплопроводности. Однако для полного математического описания и получения точного решения необходимо к уравнению добавить условия однозначности. Условия однозначности содержат геометрические условия (форма и размеры тела), физические условия (теплопроводность, теплоемкость, плотность, распределение внутренних источников тепловыделения), временные (начальные) условия, содержащие распределение температуры в начальный момент времени, и граничные условия, определяющие особенности протекания процесса на поверхности тела. Существует 4 типа граничных условий.

Граничные условия первого рода определяют распределение температур на поверхности тела для каждого момента времени tc f xc ,yc ,zc , . В случае

если температура не зависит от времени, то tc f xc ,yc ,zc , а если температура постоянна по всей поверхности, то tc const. Граничные условия первого рода

являются наиболее простыми по своей сути, а на практике в большинстве случаев применяются при решении обратных задач термостатирования поверхностей. Примером может служить определение характеристик радиатора системы охлаждения, чтобы температура на поверхности процессора не превышала определенную величину.

Граничные условия второго рода предполагают, что задается плотность теплового потока для любой точки поверхности и времени qc f xc ,yc ,zc , . В

частном случае, когда qc const, граничное условие на поверхности стенки записывается как

Классическим примером граничных условий второго рода может являться нагрев металлических изделий в высокотемпературных печах, тепловой поток от нагревателя, тепловыделение процессоров и микросхем.

При граничных условиях третьего рода задаются температура среды tж и

условия теплообмена этой среды с поверхностью тела. Условия теплообмена определяются законом Ньютона-Рихмана согласно которому

дачи заключается в том, что он численно равен количеству теплоты, отдавае-

17

мой (или воспринимаемой) единицей площади поверхности тела в единицу времени при разности температур поверхности и окружающей среды в 1 К.

Примером граничных условий третьего рода может являться омывание стенки потоком теплоносителя или фазовый переход на поверхности. При высоких значениях коэффициента теплоотдачи разность температур между стенкой и потоком теплоносителя выравнивается и граничные условия третьего рода трансформируются в граничные условия первого рода.

Граничные условия четвертого рода формулируются на основании равенства тепловых потоков, проходящих через поверхность контакта тел:

Данные условия применяют, когда необходимо учитывать контактное сопротивление на границе. Если при этом площадь контакта заполнена средой, то граничные условия запишутся как

где к – коэффициент контактного теплообмена.

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дают полное математическое описание процесса. Решение задачи можно получить при этом аналитическими, численными и экспериментальными методами.

2.3. Точные решения задач теплопроводности. Передача теплоты через плоскую стенку

Как было показано выше, уравнение теплопроводности имеет следующий

вид:

Физическая область решения представлена на рис. 2.8. Введем следующие допущения:

-рассматривается стационарный процесс;

-внутренние источники тепловыделения отсутствуют;

-теплофизические свойства стенки изотропны по всем направлениям, а значения параметров равны средним значениям;

-длина (или высота) стенки существенно превышает ее толщину.

18

С учетом принятых допущений исходное уравнение теплопроводности запишется в следующем виде:

Таким образом, задача сводится к одномерной, а ее решение будет зависеть от заданных граничных условий.

Рис. 2.8. Физическая область решения задачи стационарной теплопроводности в плоской стенке при граничных условиях первого рода

Граничные условия первого рода запишем в виде

Распределение поля температур по толщине стенки найдем в результате интегрирования исходного дифференциального уравнения, а константы интегрирования из соответствующих граничных условий

Для удобства анализа запишем полученное выражение в безразмерном виде, введя следующие обозначения:

19