Методическое пособие 769

тивления стенки к термическому сопротивлени ю переда и тепла с поверх-

В большинстве практических задач требуется определен ие температуры в характерных точ ах тела (либо на поверхности x , либо в средне плоско-

дящимся и с достаточной точностью может быть заменен первым членом ряда:

ратур является функцией чисел Фурье и Био. Решение уравнения представлено в виде графиков в логарифмических координатах (рис. 3.2, 3.3).

Рис. 3.2. Зависимость безразмерного перепада темпера ур от чисел Фурье и Био для поверхности пластины [8]

40

Рис. 3.3. Зависимость безразмерного перепада темпера ур от чисел Фурье и Био для середины пластины [8]

С помощью этих графиков м жно проводить следующие расчеты:

- при заданной продолжительности нагрева и интенсивности теплоотдачи определять перепад температур на поверхностях и в ередине пластин ;

ность теплоотдачи с поверхности.

Уравнение соответствует регулярному теплов му режиму, а поле температур остается подобным себе во все последующие моменты времени. Такие

где t0– температура пластины в начальный момент времени; f – площадь боковой пов рхности стенки; t1 – средняя температура по толщине пластины в мо-

41

мент времени 1; t1 tж t0 tж – средний безразмерный перепад темпе-

ратур в момент времени 1.

Характер изменения температурного поля в пластине при различных числах Био представлен на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Изменение температурного поля в пластине в зависимости от числа Био: а –Bi 100; б –Bi 0,1

3.2. Нестационарное температурное поле бесконечно длинного цилиндра

Рассмотрим задачу по определению температурного поля в неограниченном цилиндре радиусом r0 с начальной температурой t0. Введем следующие допущения:

-рассматривается нестационарный процесс;

-внутренние источники тепловыделения отсутствуют;

-теплофизические свойства стенки изотропны по всем направлениям, а значения параметров равны средним значениям;

-длина (или высота) цилиндра существенно превышает ее толщину.

Для удобства вычислений расчет будем вести от температуры окружающей среды tж t . Дифференциальное уравнение теплопроводности для ци-

линдрической системы координат примет вид

а граничные условия запишутся в виде

42

r rr0.

Подставив значение и проинтегрировав выражение для , получим

Решение уравнения представлено в виде графиков в логарифмических координатах (рис. 3.5, 3.6).

43

Рис. 3.5. Зависимость безразмерного перепада темпера ур от чисел Фурье и Био на оси цилиндра [8]

Рис. 3.6. Зависимость безразмерного перепада темпера ур от чисел Фурье и Био на поверхности цилиндра [8]

44

Как показано в [8], безразмерный перепад бруса равен произведению безразмерных перепадов температур на пластинах. Рассмотренный метод известен под названием теоремы о перемножении решений:

где х t t0 x tжtж ; y t t0 y tжtж ; z t t0 z tжtж .

Величины, входящие в уравнения, могут быть определены по соотношениям, изложенным выше, а также с помощью графиков на рис. 3.2, 3.3, 3.5, 3.6.

При расчета цилиндра конечной длины (рис. 3.8) рассматривают температурное поле бесконечного цилиндра диаметром 2r0 и плоской пластины тол-

щиной 2 z (длина цилиндра принимается равной l 2 z ).

Рис. 3.8. Физическая область для задачи нестационарной теплопроводности цилиндра конечных размеров

46

Безразмерную температуру для такого цилиндра можно записать как

где z t t0 z tжtж ; r t t0 r tжtж .

Величины, входящие в уравнения, могут быть определены по соотношениям изложенным выше, а также с помощью графиков на рис. 3.2, 3.3, 3.5, 3.6.

При этом в качестве характерных размеров выбирается радиус цилиндра r0 и половина высоты цилиндра z .

Следует отметить, что предложенные зависимости также можно использовать для материалов, имеющих анизотропные теплофизические характеристики.

Контрольные вопросы

1.Что является целью решения нестационарной задачи теплопроводности?

2.Каков физический смысл критериев Био и Фурье?

3.Как влиет значение числа Био на характер распределения температуры в плоской пластине?

4.Какие теплофизические расчеты можно проводить с помощью графиков на рис. 3.2, 3.3, 3.5, 3.6?

5.Каков алгоритм решения задачи нестационарной теплопроводности для праямоугольного бруса конечных размеров?

6.Каков алгоритм решения задачи нестационарной теплопроводности для цилиндра конечных размеров?

7.Как изменится методика расчета нестационарной теплопроводности, если телу свойственна тепловая анизотропия?

47

4. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА

4.1. Основные понятия и определения

Конвективным теплообменом называется передача теплоты при движении жидкости или газа. В реальности конвективный теплообмен всегда сопровождается теплопроводностью, а при наличии значительного перепад температур и лучистым теплообменом.

Конвективный теплообмен между движущейся средой и поверхностью раздела с другой средой называется теплоотдачей. Если теплообмен происходит при движении жидкости или газа под воздействием неоднородного поля массовых сил (гравитационных, магнитных, электрических), то он носит название свободной конвекции. В случае, когда движение вызвано воздействием внешних сил на границе системы, под действием однородного поля массовых сил, приложенных к жидкости внутри системы или за счет кинетической энергии, сообщенной жидкости вне системы, процесс теплообмена носит название вынужденной конвекции. По аналогии с теплопроводностью конвекция может быть стационарной и нестационарной.

Конвективный теплообмен классифицируется по режиму течения, т.е. теплообмен при ламинарном или теплообмен при турбулентном течении, а также по характеристике области протекания процесса – внешние и внутренние задачи.

Внешние задачи представляют собой исследование теплообмена при обтекании тел внешним потоком жидкости. Внутренние задачи изучают теплообмен внутри труб, каналов различной формы.

Механизмы переноса импульса и энергии при ламинарном и турбулентном течении различаются кардинально. Переход от ламинарного к турбулентному режиму течения определяется критическим значением числа Рейнольдса

Re w0l . При этом ламинарный режим течения в трубах наблюдается при

Re 2300, а устойчивый турбулентный режим при Re 10000. Промежуточные значения числа Рейнольдса относятся к так называемому переходному режиму течения. Для внешних задач обтекания плоской пластины, переход от ла-

минарного к турбулентному течению происходит при Re 3 105.

Основной задачей конвективного теплообмена является установление связей между плотностью теплового потока на поверхности теплообмена, температурой самой поверхности и температурой жидкости.

Характерные размеры области течения жидких сред намного больше длины свободного пробега молекул, что позволяет считать эти среды непрерывными. Поэтому распределение температуры в потоке жидкости можно при-

48

нимать в виде непрерывного поля. Исключение составляют разреженные газы. Подробно теория теплообмена в таких средах рассмотрена в работах [5, 8].

Условия теплообмена определяются законом Ньютона-Рихмана согласно которому

где – коэффициент теплоотдачи, Вт м2 К . В свою очередь,

Если задача решается в одномерной постановке (например, задана координата y), имеется естественный линейный масштаб l0, то выражение для определения коэффициента теплоотдачи можно записать в безразмерном виде:

Ориентировочные значения коэффициента теплоотдачи при различных видах конвективного теплообмена приведены в табл. 4.1.

Значение коэффициента теплоотдачи зависит от скорости и режима течения жидкости, теплофизических свойств жидкости и поверхности, геометрических характеристик поверхности теплоотдачи, наличия фазовых переходов.

49