2.4. Энергия упругой волны

Пусть в некоторой среде вдоль оси Х распространяется плоская продольная волна

 = a cos(t-kx). (57)

Выделим в среде элементарный объем V, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно считать одинаковыми и равными, соответственно, /t и /x.

Выделенный объем обладает кинетической энергией:

(58)

(V-масса объема, /t- скорость движения точек среды).

Рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации:

( = /x-относительная деформация, Е - модуль Юнга среды). Заменим в (59), полагаясь на формулу υ = , модуль Юнга на  ² ( - плотность среды, – фазовая скорость волны). Тогда потенциальную энергию колеблющихся частиц среды в объеме V можно представить в виде

(60)

Выражения (58) и (60) в сумме дают полную энергию выделяемого объёма

Разделив эту энергию на объем V, в котором она содержится, получим плотность энергии

(61)

Дифференцирование уравнения (54) один раз по t, другой раз по х дает:

/t = -a sin(t-kx), /x = ka sin(t-kx)

Подставив эти выражения в формулу (61) и приняв во внимание, что k² = ², получим:

w= a²²sin²(t-kx) . (62)

Из (62) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. Средняя плотность энергии в каждой точке среды

<w > = (1/2)a²² (63)

Здесь учтено, что среднее значение квадрата синуса за период равно 1/2, т.е. <Sin² (ωt-кх)>=1/2.

Видно, что плотность энергии пропорциональна плотности среды , квадрату частоты и квадрату амплитуды волны.

Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной.

Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Если через данную поверхность за время dt переносится энергия dW, то по определению поток энергии будет равен

Ф = (64)

Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности.

Для характеристики переноса энергии в различные точки пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии. Модуль потока энергии равны

(65)

Ч

Рис. 15

ерез площадку S_ (рис.15) будет перенесена за время t энергия W, заключенная в объеме цилиндра с основанием S_ и высотой t ( – фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то W можно найти, как произведение плотности энергии w на объем цилиндра S_  t: W = wS_Vt. Подставив это выражение в формулу (70), получим для плотности потока энергии:

j = w (66)

Наконец, введя вектор , модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с распространением волны (переноса энергии), можно написать

(67)

Этот вектор называется вектором Умова. Среднее значение плотности потока энергии равно

< > = <w> = (1/2)a²² . (68)

Выразим модуль средней плотности потока энергии в другом виде, используя выражение υ = :

<

194

j > = , (69)

где Е - модуль Юнга,  - плотность среды.

Отметим, что когда говорят об интенсивности волны в данной точке, то имеют в виду среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимое волной.