5. Отражение и прохождение упругих волн на границе раздела двух сред

Пусть на границу раздела двух сред (рис. 16) из среды 1 падает нормально к границе волна.

Пусть величины ξ₁, ξ₂ и ξ₃ выражают смещения части, обусловленные действием падающей, отражённой и проходящей волнами соответственно.

На границе выполняются следующие условия:

1. полная энергия, приходящая к единичной площадке

границы за единицу времени (то есть вектор Умова), равна плотности потока энергии уходящих от границы волн:

_пад= _отр+ _прох (70)

Учитывая направление скоростей, получим:

j_пад=-j_отр+j_прох (71)

2) на границе выполняется условие неразрывности среды, то есть

_пад+_отр=_прох, (72)

где смещения  входят со своими знаками.

Подставляя в (70) и (71) выражения для падающей, отраженной и проходящей волн, приведенные на рис.16, получим следующие выражения для амплитуды проходящей А_прох и отраженной А_отр волн

А_прох= , (73)

_, (74)

где A_пад - амплитуда падающей волны; z – отношение волновых сопротивлений или импедансов второй и первой сред, т.е.

(75)

Принято считать, что если z  1, то вторая среда для рассматриваемой волны более «плотная», чем первая. Если z  1, то как видно из выражения (74), соответствующая амплитуда отраженной волны меняет знак, то есть фаза изменяется на . В таком случае принято говорить, что происходит потеря половины волны. В проходящей волне, как видно из выражения (73), фаза не изменяется.

Покажем, что при отражении от среды 2, значительно более плотной, чем среда 1, то есть при z » 1 результирующая амплитуда А_пад + А_отр на границе в среде 1 равна нулю. Это означает, что на границе образуется узел, то есть точка, в которой смещение в любой момент времени равно нулю.

Действительно, как следует из выражений (73) и (74), в этом случае

А_отр = -А_пад , А_прох = 0 (76)

Следовательно, в среде 1 результирующая амплитуда на границе равна

А₁ = А_пад + А_отр = 0 (77)

Иллюстрацией этого может служить веревка, привязанная к стене. Если попробовать раскачать веревку так, чтобы на границе суммарное смещение было бы равно нулю, то убедимся, что этого осуществить не удастся.

Рассмотрим ситуацию, когда z = 1. В этом случае

А_прох = А_пад , А_отр = 0 (78)

Следовательно, отраженной волны не будет, волна проходит без преломления. Такие среды, для которых z = 1, называются согласованными.

Если z <<1 или z = 0,то

А_отр = А_пад А_прох = 2А_пад (79)

Из этого следует, что в среде 1 результирующая амплитуда на границе равна

А₁ = А_пад + А_отр = 2А_пад (80)

Кроме этого, как видно из выражения (80), результирующая амплитуда на границе максимальна. Точка, в которой амплитуда максимальна, называется пучностью.