2. Упругие волны

2.1. Основные понятия. Уравнение волны

Волной называется процесс распространения колебаний в непрерывной среде. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны.

Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Поверхность, являющаяся геометрическим местом точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической.

График зависимости смещения частиц среды  от расстояния х до источника колебаний для фиксированного момента времени представлен на рис. 13

М инимальное расстояние между частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны  равна такому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза волны за период колебаний частиц, т.е.

 = T = / , (41)

где Т - период,  = 1/Т - частота волны, – скорость распространения волны

Уравнением упругой волны называется выражение, которое дает смещение  колеблющейся частицы среды, заданной координатами равновесного положения х, у, z в произвольный момент времени:

 = (x,y,z,t).

Получим вид уравнения плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х. Волновые поверхности представляют собой плоскости, перпендикулярные оси Х.

В се точки выбранной волновой поверхности колеблются одинаково. Смещение  всех точек этой плоской поверхности будет зависеть от ее координаты х и времени t: =(х,t). Пусть точки плоскости x = 0 (рис. 14) совершают колебания по закону

(0,t) = a cos(t+).

Найдем закон колебаний точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того, чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время  = x/ . Следовательно, колебания частиц лежащих в плоскости х, будут отставать на время  от колебаний частиц в плоскости х = 0, т.е. будут совершаться по закону

(x,t) = a cos[(t-)+] = a cos[(t-x/ )+].

Итак, уравнение плоской волны (как продольной, так и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, получает вид:

 = a cos[(t-x/ )+]. (42)

Зафиксируем какое-либо значение фазы волны

(t-x/ )+=const. (43)

Продифференцировав равенство (48) по времени, получим условие

или = υ (44)

По смыслу величина есть скорость распространения постоянного значения фазы, обозначается через и носит название фазовой скорости волны.

Из равенства (44) следует, что скорость распространения волны в упругой среде есть скорость распространения фазы

₌ . (45)

Согласно (44), dx/dt0. Следовательно, уравнение (42) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания .

Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, определяется уравнением:

 = a cos[(t+x/ )+]. (46)

Уравнению (46) можно придать симметричный вид относительно переменных х и t. Для этого введем величину

(47)

и назовем ее волновым числом. Умножая числитель и знаменатель выражения (47) на частоту , представляем волновое число в виде:

k =  / (48)

Раскрывая в (42) круглые скобки и принимая во внимание (48), придём к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x

 = a cos(t-kx+). (49)

Уравнение плоской волны, распространяющейся в противоположную сторону, отличается от (49) только знаком при члене kx.

Уравнение плоской волны является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. В декартовых координатах волновое уравнение плоской волны имеет вид:

Здесь  смещение частицы среды с координатами x,y,z в момент времени t.

Отметим, представленные уравнения распростра-няющейся плоской волны справедливы для сред без поглощения.

Если размеры изотропного источника упругой волны малы, то на большом расстоянии от него волновые поверхности будут образовывать семейство сфер с общим центром в точке положения источника (семейство концентрических сфер).

Уравнение сферической волны при отсутствии поглощения средой имеет вид

(50)

Здесь - расстояние от точечного источника до заданной точки (x,y,z); - амплитуда колебаний частиц на расстоянии r = 1м, - волновое число.