1.4. Сложение колебаний одного направления

Воспользуемся представлением гармонического колебания моделью вращающегося вектора амплитуды (рис.4).

Рис.4	Рис.5

Введем ось Х и из точки О, взятой на этой оси, отложим вектор длины А, образующий с осью угол . Если привести вектор А во вращение с угловой скоростью ₀, то проекция этого вектора на ось х будет изменяться со временем по закону x = A cos (₀t+_о). Следовательно, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора амплитуды. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты:

x₁=А₁cos(₀t+₁), x₂= A₂cos(₀t+₂) (17)

Представим оба колебания с помощью векторов (рис.5). Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор . Проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов: x = x₁+x₂

Вектор будет характеризовать результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ₀, как и векторы , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием частотой ₀ и определяемыми значениями амплитуды А и начальной фазой . Из рис.5. видно, что

A² = A₁²+A₂²+2A₁A₂ cos(₂-₁) (18)

(19)

1.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть материальная точка совершает колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, например, вдоль координатных осей Х и У. Уравнения соответствующих колебаний при этом будут следующими

x = а cost, y = b cos(t+) (20)

Уравнения (20) в параметрической форме задают траекторию, по которой движется тело. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (20) параметр t (время). Проделаем несложные математические преобразования, представляя:

cost = ; sint = (21)

Подставляя (21) в формулу

(cos(+)=coscos-sin sin), получим:

= cost cos-sint sin = cos-sin ² ;

- cos = -sinα ;

или, возводя в квадрат и преобразуя

+ -2 cos = sin² (22)

Это и есть уравнение траектории. В общем случае – это эллипс, оси которого ориентированы произвольно относительно координатных осей Х и У. Ориентация эллипса зависит от амплитуд a и b и разности фаз . Найдем траектории в некоторых частных случаях:

1. Разность фаз  = 0, тогда

+ -2 = 0; или ( - )² = 0

Откуда следует, что y = bx/a для |x|  a.

Т очка колеблется по отрезку прямой (рис.6.), причем, ее расстояние от начала координат О равно = .

П одставляя значения х и у, получим:

.

Таким образом, результирующее движение является гармоническим колебанием с частотой  и амплитудой .

2. При  =  из уравнения (22) получим:

+ -2 cos() = sin²(), или + -2 = 0 , т.е. = 0. Отсюда имеем , |х| ≤ a (см. рис.7.). И в этом случае точка колеблется по отрезку прямой.

3. П ри  = /2 уравнение траектории точки принимает вид . Это означает, что точка при своем движении описывает эллипс.

Когда  = /2 материальная точка вращается по эллипсу по ходу часовых стрелок, а при  = - /2 - в противоположном направлении. Стрелками указаны направления движения точки по эллипсу (рис.8.).