2.9. Примеры

1. Плоская волна распространяется вдоль оси x со скоростью = 15 м/с. Две точки, находящиеся на расстояниях х₁ = 5 м и х₂ = 5.5 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз Δ = /5. Амплитуда волны А = 4 см. Определить: 1) длину волны; 2) уравнение волны; 3) смещение ₁ первой точки в момент времени.

Дано: = 15 м/с, х₁ = 5 м, х₂ = 5.5 м, Δ = /5, А = 4 см = =0.04 м, t = 3 c.

Найти: , (x,t), ₁.

Решение. Разность фаз колебаний двух точек волны

Δ =2 Δх /, где Δх = х₂ - х₁ – расстояние между этими точками. Тогда  = 2 (х₂ - х₁)/ Δ.

Циклическая частота ω = 2  /T, где T =  / . Следовательно, ω = 2  /.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х,

(x,t)=A cos ω(t – x/ )= A cos ( t – x).

Чтобы найти смещение ₁, надо в это уравнение подставить значения t и х₁.

Вычисляя, получаем: 1)  = 5м;

2) (x,t)=0.04 cos (6 t – (2 /5) х), м; 3) ₁ = 0.04 м.

2. Неподвижный приемник при приближении источника звука с частотой ₀ = 360 Гц, регистрирует звуковые колебания с частотой  = 400 Гц. Принимая температуру воздуха Т = 290 К, его молярную массу М = 0,029 кг/моль, определить скорость движения источника звука.

Дано: ₀ =360 Гц,  =400 Гц, Т = 290 К, М = 0,029 кг/моль.

Найти: .

Решение. Исходя из общей формулы для эффекта Доплера в акустике и учитывая, что приемник покоится, а источник приближается к приемнику, получим

,

где – скорость распространения звука. Отсюда

= (1 - ₀/). Скорость распространения звуковых волн в газах , где для воздуха  =(i+2)/i = 7/5 = 1.4. В результате получаем искомую скорость движения источника звука:

= (1 - ₀/) = 34.1м/с

2.10. Задачи

1. Бегущая волна задана уравнением , где t - в секундах, - в метрах. Вычислить частоту колебаний, скорость и длину этой волны .

2. Волна распространяется в упругой среде со скоростью = 100м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1м. определить частоту колебаний. [ =50Гц].

3. Волна с периодом T = 1,2 с и амплитудой A_o = 2 см распространяется со скоростью = 75 м/с. Чему равняется смещение (x,t) точки, находящейся на расстоянии x = 45 м от источника волн в тот момент, когда от начала колебаний прошло время t = 4 c. [- 1.62 см].

4. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяется волна со скоростью = 50 м/с. Период колебаний Т = 0.05 с, расстояние между точками х = 500 см. Найдите разность фаз Δ колебаний в этих точках. [4].

5. Скорость звука в некотором газе при нормальных условиях равна 308 м/с. Плотность газа . Определить отношение для данного газа. [ ].

6. В однородном стержне с плотностью установилась продольная стоячая волна . Найти выражения для объемной плотности: а) потенциальной энергии ; б) кинетической энергии . Построить графики распределения объемной плотности полной энергии между двумя соседними узлами смещения в моменты t = 0 и t = T/4, где Т – период колебаний.

7. В трубе длиной находится воздух при температуре Т = 300 К. Определить минимальную частоту возможных колебаний воздушного столба в двух случаях: 1) труба открыта, 2) труба закрыта. [1) 144 Гц; 2) 72 Гц].

8. В упругой среде плотности бежит вдоль оси Х волна . Написать выражение для вектора Умова (вектора плотности потока энергии).

9. Найти мощность N точечного изотропного источника звука, если на расстоянии от него интенсивность звука равна 20мВт/ . Какова средняя объёмная плотность энергии на этом расстоянии? [N=157 Вт; =60,2 мкДж/ ].

10. По прямому шоссе едет со скоростью легковой автомобиль. Его догоняет движущаяся со скоростью специальная автомашина с включенным звуковым сигналом частоты . Сигнал какой частоты будут слышать пассажиры автомобиля? Считать скорость звука . [ 1.03 кГц].

11. Источник звука частоты и приемник находятся в одной точке. В некоторый момент источник начинает удаляться от приемника с ускорением . Найти частоту колебаний, воспринимаемых неподвижным приемником через t = 10.0 с после начала движения источника. Скорость звука .