1.2. Энергия гармонического колебания

Используя выражение скорости (3), определим кинетическую энергию гармонического осциллятора

(7)

Потенциальная энергия выражается формулой:

(8)

Складывая (7) и (8), получим полную энергию колебания:

E = E _k + E_p = . (9)

Таким образом, полная энергия гармонического колебания является величиной постоянной. Этого и следовало ожидать, так как квазиупругая сила является консервативной.

1.3. Маятники

Маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Наиболее известными являются математический и физический маятники.

М атематическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (рис.2.).

При отклонении маятника от положения равновесия на угол  возникает вращательный момент М = - mgl sin (m – масса маятника, l – длина маятника).

Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, моменту М и угловому смещению  нужно приписывать противоположные знаки. По основному закону динамики вращательного движения имеем уравнение

ml² =- mgl sin , (10)

где ml² – момент инерции маятника, - угловое ускорение. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае можно положить sin  . Введя обозначение g/l =₀², получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний +₀² = 0, общее решение которого имеет вид

 = A cos(₀t+_о), (11)

где А и _о - постоянные, определяемые начальными условиями возбуждения колебаний.

Таким образом, при малых колебаниях математический маятник колеблется по гармоническому закону. Период колебаний математического маятника

(12)

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести тела. При отклонении маятника от положения равновесия на некоторый угол  возникает момент силы тяжести, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия.

Э тот момент равен M = - mgl sin, где

m - масса маятника, а l – расстояние от центра тяжести С тела до оси вращения О (рис.3.). Знак « - » имеет тоже значение, что и в случае формулы (11). Обозначив момент инерции маятника относительно оси О буквой I, можно написать дифференциальное уравнение колебаний физического маятника

I +mgl sin =0, (13)

или при малых углах +₀² =0, где

₀² = mgl/I, (14)

а период колебаний физического маятника определяется выражением

. (15)

Из сопоставления формул (12) и (15) следует, что математический маятник с длиной

L = I / ml (16)

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник.

Величину (17) называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, расположенная на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника. (см. т. О’ на рис. 3). Точка подвеса и центр качания являются взаимозаменяемыми, т.е. если маятник подвесить за центр качания О’, то его период не изменится и прежняя точка О станет новым центром качания.