9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению . На практике устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия с степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению . То есть требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, если известно, что допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равна , а найденная по выборке окажется значимо больше , то станок требует подналадки.

В качестве критерия для проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина .

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы найти критическую точку .

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу (то есть различие между исправленной дисперсией и гипотетической генеральной дисперсией – незначимое). Если - нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия =14,6. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу =12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы .

Решение. Найдем наблюденное значение критерия: =((13-1)14,6)/12=14,6.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область правосторонняя.

По таблице, по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы k = n-1 = 13-1 = 12 находим критическую точку =26,2.

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией (14,6) и гипотетической генеральной дисперсией (12) – незначимое.

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения найти левую критическую точку и правую критическую точку .

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если или - нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия =10,3. Требуется при уровне значимости 0,02 проверить нулевую гипотезу =12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы .

Решение. Найдем наблюденное значение критерия: =((13-1)10,3)/12=10,3.

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область двусторонняя.

По таблице, находим критические точки: левую - = = и правую - = . Так как наблюдавшееся значение критерия принадлежит области принятия гипотезы (3,57<10,3<26,2) – нет оснований ее отвергнуть. Другими словами, исправленная выборочная дисперсия (10,3) незначимо отличается от гипотетической генеральной дисперсии (12).

Правило 3. При конкурирующей гипотезе находят критическую точку .

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.