- •Введение
- •Основные задачи математической статистики
- •2. Генеральная совокупность, выборка
- •3. Статистический ряд. Гистограмма
- •Коэффициенты соотношений заемных и собственных средств предприятий
- •Сгруппированный ряд наблюдений
- •Числовые характеристики статистического распределения. Обработка опытов
- •5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность
- •Методы расчета сводных характеристик выборки
- •7. Проверка статистических гипотез
- •8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •10. Выравнивание статистических рядов
- •11. Критерии согласия
- •12. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения
- •13. Система двух случайных величин
- •13.1. Понятие о системе нескольких случайных величин
- •13.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •13.3. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу
- •13.4. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
- •13.5. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)
- •13.6. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •13.7. Условное математическое ожидание
- •13.8. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •13.9. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •14. Элементы теории корреляции
- •14.1. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратической регрессии по несгруппированным данным
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Критические точки распределения
- •Библиографический список
- •Подписано к изданию 20.11.2007 .
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
13.3. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу
И спользуя функцию распределения системы случайных величин X и Y , легко найти вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадает в полуполосу и или в полуполосу и (рис. 8). Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной вероятность попадания точки в квадрант с вершиной , получим
. Аналогично,
.
Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.
13.4. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 9). Пусть уравнения сторон таковы: . Найдем вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти как разность вероятности попадания случайной точки в полуполосу АВ ( ) и вероятности попадания точки в полуполосу CD ( ) :
.
Рис. 9
13.5. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)
Двумерная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения.
Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины называют вторую смешанную частную производную от функции распределения
.
Геометрически этой функции соответствует поверхность, которую называют поверхностью распределения.
Функцию можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (со сторонами и ) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю.
Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения по формуле
,
что следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины .
Тогда вероятность попадания случайной точки в область D
.
Геометрически это равенство можно истолковать так: вероятность попадания точки в область D равна объему тела, ограниченного сверху поверхностью , основанием которого служит проекция этой поверхности на плоскость .
Свойства двумерной плотности вероятности
Двумерная плотность вероятности неотрицательна: .
Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:
.
Плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей
;
.
13.6. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
Пусть - непрерывная случайная величина.
Условной плотностью распределения составляющих X при данном значении Y=y называют отношение совместного распределения системы к плотности распределения составляющей Y:
/ .
Отличие условной плотности от безусловной состоит в том, что условная плотность дает распределение X при условии, что составляющая Y приняла значение Y=y; функция дает распределение X независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая Y.
Аналогично, для условной плотности составляющей Y при данном значении X=x.
Отсюда: закон распределения системы случайных величин
= или = .
Условные плотности распределения обладают свойствами:
, ;
, .