5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность

Ранее был рассмотрен вопрос об оценке неизвестного параметра одним числом. Такая оценка называется «точечной». Однако в ряде задач требуется не только найти для параметра подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра его точечной оценкой , и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы?

Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и приближенная замена на может привести к серьезным ошибкам.

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, то есть приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если < , то чем меньше , тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству < ; можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность , с которой осуществляется < . Обычно надежность оценки задается наперед, при чем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999. Пусть вероятность того, что < , равна : Заменив неравенство < равносильным ему двойным неравенством , или , имеем

.

Вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене на , будет , а большие по величине ошибки будут появляться лишь с малой вероятностью , а неизвестное значение параметра попадает в интервал

.

Величина рассматривается не как вероятность «попадания» точки в интервал , а как вероятность того, что случайный интервал накроет точку (рис. 2).

Вероятность называют доверительной вероятностью, а интервал - доверительным интервалом. Границы интервала : и называются доверительными границами.

Пусть произведено n независимых опытов над случайной величиной Х, характеристики которой – математическое ожидание m и дисперсия D – неизвестны. Для этих параметров получены оценки:

; .

Требуется построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности (заданной), для математического ожидания m и дисперсии D величины Х.

Исходим из того, что величины и распределены по нормальному закону. Характеристики этого закона – математическое ожидание и дисперсия – равны соответственно а и . Предположим, что дисперсия D известна. Найдем такую величину , для которой

.

Используем формулу для вычисления вероятности заданного отклонения

,

а именно

Приняв во внимание тот факт, что функция Лапласа – нечетная, имеем

Заменив X на , а на , получим

,

где - среднее квадратическое отклонение оценки , .

Отсюда , а, приняв во внимание, что вероятность Р задана и равна , то окончательно имеем

.

Таким образом, с вероятностью (надежностью) можно утверждать, что доверительный интервал = покрывает неизвестный параметр а; точность оценки . Число t определяется из равенства или . По таблице функции Лапласа (табл. 1 приложения) находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

Пример. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания a по выборочным средним , если объем выборки n=36 и задана надежность оценки .

Решение. Найдем t. Из соотношения получим По таблице функции Лапласа находим t=1,96.

Найдем точность оценки:

=

Доверительный интервал таков: .

Поясним смысл, который имеет заданная надежность. Надежность указывает, что если произведено достаточное большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен; лишь в 5% случаев он может выйти за границы доверительного интервала.

Предположим теперь, что дисперсия D неизвестна.

Тогда доверительный интервал для математического ожидания находится

= ,

где величина определяется из условия

и находится из таблицы распределения Стьюдента (табл. 2 приложения).

Здесь плотность закона распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы

,

где Г - гамма –функция:

.

Доверительный интервал для дисперсии, покрывающий точку D с вероятностью , находится

,

где и - критические точки («хи-квадрат») распределения с n-1 степенями свободы и соответствующими и уровнями значимости, , n – объем выборки. Критические точки находят по таблице критических точек распределения «хи-квадрат» (табл. 3 приложения).

Можно также по выборке построить доверительный интервал для следующего (n+1)-го, наблюдения (то есть определить границы, в которых оно будет лежать с заданной вероятностью), а именно имеем

.

Понятно, что это может быть полезно в качестве прогноза на будущее.

Пример. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 12:

Таблица 8

Варианта	-0,5	-0,4	-0,2	0	0,2	0,6	0,8	1	1,2	1,5
Частота	1	2	1	1	1	1	1	1	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.

Решение. Найдем выборочное среднее и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение . Пусть условные варианты , тогда

; ;

.

Для уровня значимости и числа степеней свободы по таблице распределения Стьюдента находим критическую точку =2,2 и определяем границы доверительного интервала:

;

.

Таким образом, искомый доверительный интервал:

Пример. Для отрасли, включающей 1200 фирм, составлена случайная выборка из 19 фирм. По выборке оказалось, что исправленное среднее квадратическое отклонение для числа работающих на фирме составляет =25 (человек). пользуясь 90% -ым доверительным интервалом, оценить среднее квадратическое отклонение для числа работающих на фирме по всей отрасли, построив доверительный интервал.

Решение. Доверительный интервал для параметра имеет вид

,

где и находят по таблице критических точек распределения хи-квадрат. По таблице определяем = 28,9 ; = 9,39 . Подставляя в формулу необходимые величины, получаем искомый доверительный интервал откуда (человек).

Пример. За последние 5 лет годовой рост актива А составлял в среднем 20% со средним квадратическим отклонением (исправленным) 5%. Построить доверительный интервал с вероятностью 95% для цены актива в конце следующего года, если в начале года она равна 100 ден.ед.

Решение. Рассмотрим величины относительного прироста цены актива за год. Будем пользоваться нормальным приближением. Применяем формулу

,

где находим из таблицы распределения Стьюдента: .

Получаем ,

откуда .

Таким образом, цена актива в следующем году составит от 105 до 135 ден.ен.