6. Методы расчета сводных характеристик выборки

Пусть варианты выборки располагаются в виде вариационного ряда.

Условными называют варианты, определяемые равенством

,

где С – ложный нуль (новое начало отсчета); h – шаг (разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами, новая единица масштаба).

Упрощенные методы расчета сводных характеристик выборки основаны на замене первоначальных вариант условными.

Рассмотрим методику вычисления выборочных характеристик для равноотстоящих вариант.

Метод произведений дает удобный способ вычис­ления выборочной средней и выборочной дисперсии. Целесообразно пользоваться расчетной таблицей, которая составляется так:

1) в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастающем порядке;

2) во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все частоты и их сумму (объем выборки n) помещают в нижнюю клетку столбца;

3) в третий столбец записывают условные варианты , причем в качестве ложного нуля С выбирают варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда, и полагают h равным разности между любыми двумя соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетке строки, содержащей выбранный ложный нуль, пишут 0; в клетках над нулем пишут последовательно —1, —2, —3 и т.д., а под нулем—1, 2, 3 и т.д.;

4) умножают частоты на условные варианты и запи­сывают их произведения в четвертый столбец; сло­жив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

5) умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведения в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму поме­щают в нижнюю клетку столбца;

6) умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных каждая на единицу, и записывают произве­дения в шестой контрольный столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

7) вычисляют выборочные среднюю и дисперсию:

; .

Пример. Найти методом произведений выборочные среднюю и дисперсию следующего статистического распределения:

варианты 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0 частоты 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1

Решение. Составим расчетную таблицу, для чего:

1) запишем варианты в первый столбец;

2) запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;

3) в качестве ложного нуля выберем варианту 11,0 (эта вариан­та расположена примерно в середине вариационного ряда); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей выбранный ложный нуль, пишем 0; над нулем записываем последовательно –1, –2, –3, –4, а под нулем — 1 , 2, 3, 4, 5;

4) произведения частот на условные варианты записываем в чет­вертый столбец; отдельно находим сумму (-46) отрицательных и отдельно сумму (103) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (57) помещаем в нижнюю клетку столбца;

5) произведения частот на квадраты условных вариант запишем в пятый столбец; сумму чисел столбца (383) помещаем в нижнюю клетку столбца;

6) произведения частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, запишем в шестой контрольный столбец; сумму (597) чисел столбца помещаем в нижнюю клетку столбца.

В итоге получим расчетную таблицу 9.

Таблица 9

1	2	3	4	5	6
10,2	2	–4	–8	32	18
10,4	3	–3	–9	27	12
10,6	8	–2	– 16	32	8
10,8	13	–1	– 13	13	0
11,0	25	0	= –46		25
11,2	20	1	20	20	80
11,4	12	2	24	48	108
11,6	10	3	30	90	160
11,8	6	4	24	96	150
12,0	1	5	5	25	36
			=103
	n=100		= 57	= 383	=597

Найдем шаг:

Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию:

=(57/100)0,2+11,0=11,1;

=

=(383/100- ) =0,14.

На практике данные наблюдений не являются равноотстоящими вариантами, поэтому интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, делят на несколько равных частичных интервалов, находят их середины. Середины интервалов и образуют последовательность равноотстоящих вариант.