2. Генеральная совокупность, выборка

В статистике часто приходится исследовать распределение того или иного признака для весьма большой совокупности индивидуумов, образующих статистический коллектив (длина или вес тела какого-либо из группы животных; стандартность или размер детали из их большого числа). Данный признак является случайной величиной, значение которого меняется от индивидуума к индивидууму или от детали к детали. Однако чтобы составить представление о распределении этой случайной величины или о ее важнейших характеристиках, нет необходимости исследовать каждый индивидуум, можно исследовать некоторую выборку достаточно большого объема для того, чтобы в ней были выявлены существенные черты изучаемого распределения. Совокупность, из которой производится выборка, называется генеральной совокупностью. При этом предполагается, что число членов N в генеральной совокупности весьма велико, а число членов n в выборке существенно меньше.

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В связи с этим выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того чтобы выборка правильно отражала все черты генеральной совокупности, она должна быть репрезентативной (представительной). Выборка будет репрезентативной, если каждый ее объект отобран случайно из генеральной совокупности, а все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Существуют следующие способы отбора.

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: простой случайный бесповторный отбор; простой случайный повторный отбор. Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения n объектов из генеральной совокупности объема N поступают так: выписывают номера от 1 до N на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад достают одну карточку. Объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку и процесс повторяют. В итоге получают простую случайную повторную выборку объема n. Если извлеченные карточки не возвращаются в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной.

При большом объеме генеральной совокупности пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Для того чтобы отобрать, например 50 объектов из пронумерованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел. В выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если случайное число таблицы превышает N, это число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки случайные числа таблицы, встречающиеся ранее также пропускают.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части: типический отбор; механический отбор; серийный отбор.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготавливается на нескольких машинах, среди которых есть более или менее изношенные. В этом случае отбор производится не из всех деталей, а из продукции каждого станка в отдельности.

Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на несколько групп, столько, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь. Такой отбор может не обеспечить репрезентативности выборки.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергают сплошному обследованию. Например, если изделия изготавливаются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Этот отбор применяют тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

На практике часто применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные способы. Например, разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий, а затем из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.

При достаточно большом числе членов генеральной совокупности N оказывается, что свойства выборочных (статистических) распределений и характеристик практически не зависят от N, отсюда вытекает математическая идеализация, состоящая в том, что генеральная совокупность, из которой осуществляется выбор, имеет бесконечный объем. При этом отличают точные характеристики (закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и т.д.), относящиеся к генеральной совокупности, от аналогичных им «выборочных» характеристик. Выборочные характеристики отличаются от соответствующих характеристик генеральной совокупности за счет ограниченности объема выборки n. При неограниченном увеличении n все выборочные характеристики приближаются к соответствующим характеристикам генеральной совокупности.