5. Египетская и греческая арифметики

1 6 4 древнем мире), а числовую единицу - как относящуюся к отдельным предме­

там. Ямблих прибавляет, что эти определения заимствованы у египтян».

Столь узкое понимание числа определило весь облик греческой математики - вместо вычисления дробей они предпочитали строить соответствующие отрезки (так назыв. геометрическая алгебра греков), зато фалесово понимание числа до сих пор звучит в названии дисциплины «теория чисел».

Таннери склонялся к мысли, что греки заимствовали у финикийцев систему счета, а у египтян - первоначальную систему арифметических действий. Последу­ ем ему, поскольку все сведения о собственно греческой системе счета [12; 19] отно­ сятся ко времени более позднему, нежели охватывет наш Курс.

Египетская арифметика достаточно хорошо известна нам из двух «математиче­ ских папирусов», зафиксировавших уровень школьного обучения конца Среднего царства и Исхода евреев из Египта. Вероятно, что за последующую тысячу лет ни­ что в египетской арифметике не изменилось.

Их система счисления была десятичной, похожей на римскую, но проще: циф­ ры от 1 до 9 обозначались вертикальными черточками, а для десятка, сотни, тыся­ чи и т.д., до миллиона имелись специальные знаки:

Сложение велось просто: надо сложить все единицы, затем все десятки (вме­ сте с возможным десятком единиц), затем сотни и т.д., как это еще не так давно делали у нас продавцы на счётах. Столбец промежуточных данных записывался в Египте красной краской, которую каждый школьник и писец носил в своем пись­ менном приборе вместе с черной, равно как и два калама (писчие палочки).

Вычитание строилось аналогично - как увеличение меньшего числа до больше­ го. Зато умножение было совсем непохоже на наше. Мы знаем, что всякое умно­ жение целых чисел есть в сущности последовательность сложений одинаковых слагаемых, но на деле заменяем эту утомительную операцию на ряд перемноже­ ний цифр и ряд сложений их итогов (умножение «в столбик»). В основе такого спо­ соба умножения чисел лежит таблица умножения цифр, которую мы заучиваем наизусть в детстве. Египтяне же каждый раз проводили сложение.

В основе их умножения лежали последовательные удвоения и суммирование результатов удвоений. Ниже показана процедура умножения 12 на 12. В первой строке 12 помножено на 1, во второй и третьей - на 2 (две строки ушли на запись 12 + 12, чтобы не складывать их в уме, и промежуточного множителя 2), в четвер-

165

той и пятой - на 4, а в шестой и седьмой - на 8 (обе строки содержат запись одно­ го числа 96 и промежуточного множителя 8). После этого просуммированы числа среднего столбца тех строк, при которых есть косая черта - они и дают итог (144). Он записан в левом столбце и отделен от остальных записей знаком «итог» (запе­ чатанный свиток).

Деление без остатка строилось не сложнее, удивляет только вычурность фор­ мулировок: «Складывай, начиная с 80, пока не ..олучишь 1120». Нам сразу и не понять, что предлагается разделить 1120 на 80; тем более, что результатом на­ звано не 14, а именно 1120 [12, с. 24]. Фактически здесь использована двоичная система счета при десятичной системе записи чисел - почти как в наших калькуля­ торах и компьютерах. Способ утомителен, но народ, строивший пирамиды, этим не напугать. Зато способ логически прост, и не требует знания таблицы умножения. Для других народов древности, включая греков, умножение составляло гораздо большие трудности.

В Месопотамии, например, пользовались таблицей умножения, но система счисления была у них шестидесятиричной, поэтому таблица умножения была не­ посильной для запоминания: если нам надо помнить 36 небольших чисел, то им требовалось помнить 1711 чисел [19, с. 106]. Таблица умножения являла собой большой плоский хрупкий кирпич, ее трудно было всегда иметь при себе, и писцы, видимо, предпочитали иное - судя по отсутствию промежуточных записей (столь характерных для египтян и для александрийских греков), они считали только на абаке [12, с. 439].

Абак - счетная доска, где перекладывали камешки (отсюда «калькулятор» - от латинского calculus - камешек). Абак прижился во многих культурах, но о древних восточных абаках ничего неизвестно, и древнейший найденный абак - греческий. Процедура счета древних вычислителей остается неясной, и ее додумывают по аналогии со средневековой.

Известны две греческих системы записи чисел - афинская (ставшая основой для «римских цифр») и милетская (ионийская - она стала основой византийской, а затем и славянской системы счета).

166

Афинская (аттическая, геродианова) система известна из надписей, начиная с -VI века. Она похожа на египетскую: числа от 1 до 4 обозначались вертикальными чертами, аналогичная картина повторялась с десятками, сотнями, тысячами и ми­ риадами (десятками тысяч), причем единица каждого разряда обозначалась пер­ вой буквой соответствующего слова: 1 - идио-, 10 - дека- и т.д. Мы пользуемся этими обозначениями до сих пор. Было и важное добавление - особые знаки для 5, 50, 500, 5000 и 50000. Для более крупных чисел приходилось пользоваться ком­ бинациями знаков.

Тем самым, система была не десятичной, а двоично-пятичной. Именно для афинской системы предназначался древнейший известный абак, найденный в XIX веке на острове Саламин близ Афин.

С падением могущества Афин в конце -V века афинская система была вытесне­ на милетской, возникшей, вероятно, тоже в -VI веке. В ней в качестве цифр исполь­ зовались все буквы греческого алфавита. Единственным ее преимуществом была более краткая запись крупных чисел.

Ни та, ни другая система для вычислений удобны не были, поэтому проводили на абаке, пользуясь не названиями цифр разных разрядов, а прямо единицами, десятками, сотнями и т.д. Всякому, кто видел, как российские продавцы считают на счётах (еще в 1980-х годах это делали повсюду), могу легко объяснить, как счита­ ли на абаке: абак - это счёты, из которых вынуты стержни, так что костяшки надо перекладывать.

Соединить костяшки с доской в единый прибор догадались римляне121. Однако понадобилось еще 2 тысячи лет, чтобы понять, что сама доска вовсе не нужна. Ее нет в русских счётах, что и сделало их удобным прибором, устоявшим перед арифмометром (вытеснившим сто лет назад ручной счёт на Западе) и даже перед компьютером. В российских магазинах и бухгалтериях счёты уступили миниатюр­ ному калькулятору лишь в 1990-е годы.

Как обучали считать в Греции -VI / -V веков, неизвестно. В александрийское время был известен «греческий способ» умножения, преобразованный из вави­ лонского, но он был настолько громоздким, что практически греки пользовались не им, а «египетским способом» - тем самым, какой мы только что рассмотрели [12, с. 64]. Единственное, что остается допустить - что в греческих школах с самого на­ чала использовался «египетский способ» счета, а это наводит на мысль, что в гре­ ческую математику (а не в торговлю) счет ввели действительно Фалес и Пифагор, привнесшие его из Египта. Такое допущение открывает путь к пониманию того, по­ чему в греческой арифметике долго не было дробей.

4. Арифметика без дробей

Вернемся к египтянам. Столкнувшись с остатком при делении, они пришли во­ все не к понятию дроби, а к понятию обратного числа. Обычно пишут, что дроби египтяне использовали, но только вида 1/п; однако это - грубый презентизм. Если было бы так, ничто не помешало бы им складывать такие дроби, в действительно­ сти же египтяне не складывали свои «дроби» никогда, а вместо этого развили осо­ бую отрасль арифметики - исчисление обратных чисел.

167

Для обозначения величин, меньших единицы, они действительно пользовались долями (теми самыми, которые мы записываем как 1/п), но рассматривали их как своеобразные числа, подчиняющиеся своей арифметике, и писали их по-особому - ставя над ними овал. Мы же будем обозначать Μη как л, чтобы избежать соблаз­ на видеть в них наши дроби (Нейгебауер ставил черту над ними).

Смысл числа а состоял для египтян в том, что а х а = 1, но отнюдь не в возмож­ ности сложения: даже признав (по сути), что 1/3 + 1/3 = 2/3 (для 2/3 у них был особый знак), они никогда не перешли к равенствам вроде 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5. Поэтому, египтяне не продвинулись дальше деления и, в частности, не научились извлекать квадратные корни (что сравнительно легко далось вавилонянам).

Суть египетского исчисления "дробей" (остатков деления) столь же проста, как египетское умножение: если для умножения они раскладывали число на сумму степеней двойки, то величину, меньшую единицы, они раскладывали на сумму об­ ратных чисел. Так, при делении 16 на 5 они получали 3 5, и величина 5 была им так же понятна, как 5. Но вот 2/5 нуждались в приведении к понятной форме, и они писали (по сути дела) так:

дважды 5 = 3 + 15.

Они пользовались обширными таблицами сумм обратных величин, которые, по мнению Нейгебауера, искались опытным путем (см. Примеч.122). Процедура пред­ ставления дроби в форме суммы обратных чисел называлась (позже, у греков) разъединением дроби [12, с. 68].

Обратные величины были для египтян сами собой разумеющимися, и это на­ водит на мысль, что только они и применялись вместо дробей в первичной грече­ ской арифметике до тех самых пор, пока греки не познакомились с арифметикой вавилонской. Из нее греки заимствовали (во времена Александра Македонского) дроби в очень громоздкой (шестидесятиричной) форме. По-видимому, в жизни ими греки не пользовались, так что для окончательной записи результата полагалось дробь «разъединить», т.е. выразить в понятных для грека величинах. Таковыми оказывались обратные числа (в русских работах по истории математики они обо­ значаются как «основные дроби»). Ими пользовался даже великий астроном Пто­ лемей во II веке.

Видимо, понятие дроби было поначалу чуждо грекам в принципе:

«дробями пренебрегали и предоставляли их купцам; делимы, как говорили, видимые предметы, но не математические единицы. Вместо дробей употреб­ ляли отношения целых чисел» [12, с. 69].

В итоге математика обрела у греков по преимуществу геометрический облик: «Когда Эвклиду нужно сложить два числа, то он изображает их в виде отрез­ ков прямой AB и ВГи обозначает их сумму АГ» [12, с. 63].

По той же причине они, вместо вычисления квадратного корня, придумали по­ строение «среднего геометрического» [12, с. 165].

Словом, «арифметика без дробей» привела греков к излишней роли геометрии в математике. Для них именно геометрия была образцом знания, и недаром над