27. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Длина вектора. Угол между векторами.

Утверждение (Формула для вычисления скалярного произведения векторов): Для векторов, заданных своими координатами:  и  справедлива формула:. Произносится: Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Доказательство: Запишем каждый вектор в виде разложения по базисным векторам: Запишем скалярное произведение:

Используем свойство 7) :

Используем свойство 6):

Напомним, что  — базисные вектора декартовой системы координат, т.е. они попарно перпендикулярны, значит, по свойству 2):  . В итоге получим:

Последний шаг: по третьему свойству, зная, что :.

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {a_x ; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √a_x² + a_y²

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой: |a| = √a_x² + a_y² + a_z²

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Основное соотношение. Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

cos α =	a·b
	|a|·|b|

28. Общее уравнение прямой на плоскости в представлении геометрических векторов.

Теорема.

Всякое уравнение первой степени вида Ax+By+C=0, где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида Ax+By+C=0 при некотором наборе значений A, B и C.

Доказательство.

Как видите, теорема состоит из двух частей. Докажем сначала, что уравнение вида Ax+By+C=0 задает прямую на плоскости.

Пусть координаты точки M0(x0;y0) удовлетворяют уравнению Ax+By+C=0, то есть, Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнения Ax+By+C=0 соответственно левую и правую части равенства Ax0+By0+C=0, при этом получаем уравнение вида , которое эквивалентно Ax+By+C=0.

Уравнение  представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов  и . То есть, множество всех точек M(x;y) определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора . Если бы это было не так, то векторы  и  не были бы перпендикулярными и равенство не выполнялось бы.

Таким образом, уравнение  задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида Ax+By+C=0 задает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана.

Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида Ax+By+C=0.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку ,  - нормальный вектор прямой a, и пусть M(x;y) - плавающая точка этой прямой. Тогда векторы  и  перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, . Полученное равенство можно переписать в виде . Если принять , то получим уравнение , которое соответствует прямой a.

29. Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве.

30. Общее уравнение плоскости в пространстве.

31. Решение неравенств на плоскости.

32. Расстояние от точки до плоскости.

33. Векторное произведение векторов и его свойства.

34. Запись векторного произведения векторов с помощью определителя.

35. Смешанное произведение векторов.

36. Решение систем линейных уравнений с помощью векторного произведения.

37. Матрицы и их классификация. Действия с матрицами. Экономические примеры.

Экономические примеры.

"Матричная алгебра имеет очень важное значение в экономике. Обуславливается это тем, что матричный метод позволяет в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и объекты. Одним из примеров может послужить таблица распределения ресурсов по различным отраслям"