52. Пространство Rn и линейные операции в этом пространстве.

53. Система векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.

54. Базис линейного пространства. Примеры.

Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:

1) система линейно независима.

2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов )

Базис в пространстве R в степени n (канонический базис). Примеры: Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора , взятые в определённом порядке. Эти векторы называются базисными.

55. Теорема о разложении вектора по базису.

56. Линейная оболочка векторов.

Линейная оболочка — это набор векторов, которые задают линейное подпространство. Строго говоря, линейная оболочка — это множество всех линейных комбинаций данных векторов. Так же обозначим особенности:

1) Если задана линейная оболочка — ранг набора векторов равен его размерности. С другой стороны в таком случае рангом или размерностью называют минимальное количество линейно независимых векторов в линейном подпространстве.

57. Векторное представление системы линейных уравнений.

Представим осн. матрицу А в виде в-р-столбцов А¹ , А²,…, А^п.

Тогда система лин. ур-ний (6.1) записывается в векторном виде:

x₁А¹+х₂А²+…+х_nAⁿ=b

А¹=(, )A²=(,…. Aⁿ=( ),b=()

Значит, сис. лин. ур-ний тхп мб представлена в виде разложения в-а b€R^m – в-ра свободных членов по n в-рам А¹, А², . . . , А п € R m – в-р-столбцам матрицы коэф., при этом коэф. разложения оказываются переменные.

58. Теорема Кронекера-Капелли.

59. Критерий линейной зависимости векторов в пространстве Rn.

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система  линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:

,

где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть , .

Разделим обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на :

.

Обозначим: , где .

Тогда

или         

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие векторы этой системы, ч.т.д.

Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы:

.

Перенесем вектор  в правую часть этого равенства:

.

Так как коэффициент при векторе  равен , то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов , что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие.

1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.

2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.