- •1.Прямоугольные (декартовы) координаты на прямой, плоскости и в пространстве. Косоугольные системы координат.
- •2. Расстояние между двумя точками прямой, плоскости и в пространстве.
- •3. Деление отрезка в заданном отношении.
- •4. Полярная система координат. Сферическая система координат.
- •5. Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно.
- •6. Преобразование координат для прямоугольной системы координат методом сдвига и поворота.
- •7. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности порядка.
- •16. Окружность. Общее и каноническое уравнения окружности.
- •17. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса и его свойства.
- •18. Парабола. Каноническое уравнение параболы и его свойства.
- •19. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы и его свойства.
- •20. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как алгебраические линии второго порядка и как сечения конуса.
- •21. Геометрический вектор (длина вектора, нуль-вектор, равенство геометрических векторов, коллинеарность и компланарность). Координатные орты.
- •22. Линейные операции с геометрическими векторами. Координаты геометрического вектора и его запись с помощью знака суммы. Знак суммирования и его свойства.
- •23. Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве.
- •27. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Длина вектора. Угол между векторами.
- •28. Общее уравнение прямой на плоскости в представлении геометрических векторов.
- •38. Определитель 1-го, 2-го и третьего порядков. Правило Саррюса и «звёздочки».
- •39. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Определитель произвольного порядка.
- •40. Свойства определителя. Терема об определителе произведения квадратных матриц.
- •41. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы.
- •42. Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •43. Транспонирование и его свойства.
- •44. Система линейных уравнений и её решение.
- •45. Метод Гаусса для решений совместной системы линейных уравнений.
- •46. Однородная, неоднородная, совместная, несовместная, определенная и неопределенная система. Матричная запись системы линейных уравнений.
- •47. Теорема о решении однородной системы линейных уравнений.
- •48. Теорема о числе решений совместной системы линейных уравнений.
- •49. Решение квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •50. Формулы Крамера.
- •51. Линейное (векторное) пространство. Линейное подпространство.
- •52. Пространство Rn и линейные операции в этом пространстве.
- •53. Система векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.
- •54. Базис линейного пространства. Примеры.
- •55. Теорема о разложении вектора по базису.
- •56. Линейная оболочка векторов.
- •57. Векторное представление системы линейных уравнений.
- •58. Теорема Кронекера-Капелли.
- •59. Критерий линейной зависимости векторов в пространстве Rn.
- •60. Евклидовое пространство.
- •61. Нормируемое пространство.
- •62. Ортогональное дополнение и его свойства.
- •63. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристическое уравнение.
- •64. Линейная функция. Билинейная форма. Квадратичная форма.
- •65. Изотропный вектор и знакоопределённость квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий знакоопределённости квадратичной формы.
- •66. Линейная балансовая модель. ( Модель Леонтьева)
- •67. Модель международной торговли.
- •68. Линейные операторы как отображения. Образ и ядро линейного оператора.
- •69. Взаимно однозначные отображения.
- •70. Произведение операторов. Обратный оператор.
- •71. Теорема о представлении оператора в виде матрицы.
- •72. Произведение линейных отображений.
66. Линейная балансовая модель. ( Модель Леонтьева)
Пусть экономическая система состоит из n отраслей. Обозначим через вектор валовой продукции системы, а через – вектор ее конечной продукции. Тогда система уравнений материального баланса при условии линейности функций производственных издержек имеет вид
или в векторно-матричной форме
(9.1)
Матрицу называют матрицей прямых затрат, или технологической матрицей. Важной ее особенностью является неотрицательность ее коэффициентов. Технологическая матрица А содержит всю необходимую информацию для составления системы уравнений балансовой модели. Коэффициенты называются коэффициентами прямых затрат. Они представляют собой затраты продукции i-й отрасли на изготовление единицы валовой продукции j-й отрасли. Будем считать, что . В соответствии с предположением о комплектности потребления эти количества определяются однозначно. Уравнения (9.1) называются моделью Леонтьева.
Как известно, необходимым и достаточным условием существования и единственности решения системы уравнений (9.1) при любом векторе у является невырожденность матрицы (Е – А); тогда матрица (Е – А) имеет обратную матрицу и решение определяется соотношением
. (9.2)
Однако в данном случае задача исследования усложняется, так как для того чтобы решение х имело экономический смысл, оно должно быть неотрицательным. Заметим, что далеко не при любой неотрицательной матрице система уравнений (9.1) имеет неотрицательное решение. С экономической точки зрения особый интерес представляют системы, которые имеют неотрицательное решение при любом векторе , так как в практике планирования вектор конечной продукции задается плановым органом более высокого, нежели рассматриваемая экономическая система, уровня, а такой плановый орган не знает достаточно точно матрицу А и не может «подбирать» задание под конкретную матрицу.
Таким образом, исследование балансовых уравнений вида (9.1) сводится к установлению условий, которым должна удовлетворять неотрицательная матрица А, для того чтобы существовало неотрицательное решение этой системы при любом векторе .
Назовем матрицу продуктивной, если существует хотя бы один положительный вектор , для которого или . В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной. Это определение имеет простой экономический смысл: матрица продуктивна, если существует такой план , что каждый объект может произвести некоторое количество конечной продукции.
Теорема 9.1 (о существовании и единственности решения системы балансовых уравнений). Продуктивность матрицы является необходимым и достаточным условием существования, единственности и неотрицательности решения системы уравнений
при любом неотрицательном векторе , которое можно записать в виде
.
Данная теорема показывает, что при расчете плана по балансовой модели необходимо заранее знать, является ли технологическая матрица А продуктивной.
Теорема 9.2. (критерий продуктивности). Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и является неотрицательной.
Экономический смысл элементов матрицы заключается в следующем: элемент равен количеству продукции, которое должен выпустить объект , для того чтобы объект мог выпустить одну единицу конечной продукции (а не полного выпуска). В связи с этим элементы носят название коэффициентов полных затрат, а матрица S – матрицы коэффициентов полных затрат.
Приведем еще один достаточный признак продуктивности модели Леонтьева, наиболее удобный для проверки продуктивности матрицы межотраслевого баланса в натурально-стоимостной форме.
Теорема 9.3. Если матрица А = () неотрицательна, сумма элементов каждой строки не больше единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева, определяемая матрицей А, продуктивна.
Таким образом, матрица А продуктивна, если ³ 0 для любых i, j = 1, 2, …, n, (i = 1, 2, …, n) и существует номер такой, что .
Очевидно, что коэффициенты полных затрат всегда меньше, а могут быть и существенно больше соответствующих коэффициентов прямых затрат, поскольку, во-первых, коэффициенты указывают не только непосредственные поставки продукции объекта Pi объекту Pj, но и поставки продукции объекта Pi другим объектам, для того чтобы последние в свою очередь могли поставить объекту Pj требуемое количество их продукции, и во-вторых, при вычислении коэффициентов S ij берется отношение суммы поставок продукции объекта Pi всем объектам к величине конечной продукции объекта Pj, а эта величина меньше полного выпуска продукции объекта Pj.
Матрица носит название матрицы косвенных затрат, а элементы этой матрицы – коэффициенты косвенных затрат.