50. Формулы Крамера.

Если в системе n линейных уравнений с n неизвестными  , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

Доказательство. Обратная матрица находится по формуле

где А(i;j)-- алгебраические дополнения. Тогда

Заметим, что разложение определителя  по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя  по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому

  , откуда и следует утверждение теоремы.  

51. Линейное (векторное) пространство. Линейное подпространство.

Множество R элементов x, y, z, ... любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования:

1)Существует правило, посредством которого любым двум элементам x и y множества R ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый z=x+y.

2)Существует правило, посредством которого любому элементу x множества R и любому вещественному числу α ставится в соответствие элемент w этого множества, называемый произведением элемента x на число α и обозначаемый w=αx или w=xα.

3)Представленные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:

1. x+y=y+x (переместительное свойство суммы);

2. (x+y)+z=x+(y+z) (сочетательное свойство суммы);

3. существует нулевой элемент 0 такой, что x+0=x для любого элемента x.

4. для любого элемента x существует противоположный элемент элемент x' такой, что x+x'=0;

5. 1·x=x для любого x;

6. λ(μx)=(λμ)x (сочетательное свойство относительно числового множителя);

7. (λ+μ)x=λx+μx (распределительное свойство относительно числовых множителей);

8. λ(x+y)=λx+λy (распределительное свойство относительно суммы элементов).

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.

Лин.подпр-во.

Подпр-вом наз.часть пр-ва,эл-ты к-рого удовл.2 св-вам.

1.суммы эл-тов подпр-ва принадлжеит подпр-ву.

2.эл-т подпр-ва умноженное на число также явл.эл-том подпр-ва.

Если подпр-во лин.,то для его эл-тов также выполнены восемь св-в лин.пр-ва.

Если пр-во лин.,то и всякое его подпр-во лин. Каждое пр-во содержит тривиальное подпр-во.

Теорема Всякое нетривиальное конечномерное лин. подпр-во явл.лин.оболочкой своего базиса.т.е. L(Sn)=L,Sn‑базис.

Док-во. если Sn - базис в L, то по определению лин.оболочки, с одной стороны, L (S n) принадлежит L , с другой - по определению базиса L принад. L(S n)- Следовательно L (S n) = L.

Заметим, что, т.к. всякий вектор лин. пр-ва расскладывается по базису в виде лин. комбинации, то лин. пр-во само явл. лин. оболочкой в-ров своего базиса I

справедливо.

Т.если система в-ров л.н.з.,то она образует базис подпр-ва, построенного на этих в-рамках.

Т.сумма подпр-в явл.также подпр-вом.

] х,у принад. L=L`+L’’x+y=x’+x’’+y’+y’’=x’+y’+x’’+y’’=L’+L’’.

Теорема .пересечение лин.подпр-в также явл под-вом.

Если пересечение подпространств L’ и L " -- нул под-во,то сумма таких подпр-ств наз. прямой суммой.

Теорема .Если подпр-во образованно прямой суммой,то всякий эл-т из этой суммы можно разложить единств.способом.

Теорема. Размерность суммы 2х подпр-ств= сумме размерностей подпр-ств минус размерность их пересечения.

Теорема . Размерность прямой суммы подпр-ств =сумме размерностей этих подпр-ств.