64. Линейная функция. Билинейная форма. Квадратичная форма.

Ф-ция- это соответствие, при к-ром кажд. эл-ту v пространства V сопостав. только 1 число f(v ).

Ф-ция на лин. пр-ве L наз. лин., если для любых в-ров этого пр-ва х, у € L и люб. действ.числа λ€R выпол-ются равен-ва:

1. f ( x + у) = f(x) + f(y ),2. f(λx) = λ f (x ).

Примеры.

1. f : R -> R, f(x) = kх прямая линия на плоскости XOY

проходящая через начало коорд.

2., Скаляр. произв.

Пусть φ(х,у) числ. Ф-ция, зад. на лин. пр-тве.Если φ(х , у) линейна по кажд. из своих аргументов, то её наз. билинейной формой. Т.о. бил. форма - это ф-ция φ(х, у) зад. на лин. пр-ве L, что при всех x ,y ,z €L и λ€R выполняются рав-ва:

1. φ(х+z,у)=φ(x,у)+φ(z,у),φ(х, у+z )=φ(х,у)+φ(х, z)

2. φ(λх, у) =λφ(х,у);φ(х,λу) =λφ(х,у).

Отдельно вводят нул.бил.форму 0(х, у), для к-рой 0(х, у)=0 при всех х,у принад.L.

Бил.форма наз.симметричной, если φ(х, у) =φ(у,х)(напр.скал.произв).

Если в бил. форме φ(х,у) у = х, то получим квадратичную форму φ(х,х).

Квадрат. форма φ(х,х).наз. положительно определённой, если для любого х€ L ,х≠ 0 будет φ(х,х)> 0. В том случае, когда φ(х,х)≥0 квадратичная форма наз. неотриц... Положительно определённые и отриц. опред-ные квадратич. формы наз.знакопостоянными.

65. Изотропный вектор и знакоопределённость квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий знакоопределённости квадратичной формы.

Ненул. вектор, для к-рого квадратич.форма φ(х ,х)= 0, наз.изотропным.

Т. Если квадратич.форма не имеет изотропных в-ров,то она знакопостоянна.

Док-во. Предположим, что это не так и найдутся два ненул.

в-ра и и υ;, на к-рых квадрат. форма имеет разн.знаки. Т.к. для 2х коллинеарных в-ров х,у существует λ≠0,λ€R, что х=λ у, на к-рых квадратич. форма имеет 1и тот же знак

φ(х,х)= φ(λу, λу)=λ²φ(у,у)то в-ры и и v неколлинеарны.

Для люб. вещ. числа λ выполняется рав-во

φ(u+λυ,u+λυ)=φ(u,u)+λ(φ(υ,u)+φ(u,υ))+λ²φ(υ,υ).

Правая часть - многочлен второй степени относительно переменной λ. Т.к. φ(u,u) и φ(υ,υ) по предположению имеют разные знаки, то многочлен имеет 2 корня разн. знака. Пусть λ₀ - 1 из них, тогда φ(u+ λ₀υ,u+ λ₀υ )=0 и и + λ₀υ - изотропный

в-р. Но в-р и + λ₀υ не нулевой в силу лин. незав-сти в-ров и и v, поэтому обращение в 0 на нём квадратич. Формы невозможно по усл. Противоречие. чтд.

следствие: Знакопостоянство квадратич. формы явл. необходимыми достаточным усл-ем отсутствия изотропных векторов.

Матр.А=(aij)=(φ(ei,ej)) наз. матр.квадратич.формы.(матрицей квардатич.формы наз.матрица,составленная из ее коэф.)квадратич.форме соответствует единств.симметрическая матр.

Всякую квадратичн.форму можно представить как умножение

матриц.

Если матрица квадратич. формы диагональна и на диагонали

стоят либо +1, либо --1, либо 0, то такой вид квадратичной формы

называется нормальным.

Для люб. матрицы А квадратич.формы сущ-ет матрица S, что

А = S'DS , detS = 1,где D - диагональная матрица.

Т.(Закон инерции квадратичной формы.) Число положительных и отриц. членов в нормальном виде квадратич. формы не зависит от способа её приведения.

Следствие. Квадратич. форма положительно (отрицательно) определена, когда её положительный (отрицательный)индекс инерции равен размерности пр-ва.

Т.(Критерий Сильвестра.) Для того, чтобы квадратич.форма была положительно определена, необходимо и достаточно,чтобы все главные миноры её матрицы были положительны.

Т.Д ля того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров матрицы квадратичной формы чередовались.