60. Евклидовое пространство.

Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов  сопоставляется число  так, что  и  выполняются аксиомы:

     I. 

     II. 

     III. 

     IV. 

     Число x *y называют скалярным произведением векторов x и y, x*x,  - скалярным квадратом вектора х (пишут ). Введенная операция называется скалярным умножением векторов х и у.

61. Нормируемое пространство.

Лин. пр-во наз. нормируемым, если любому в-ру х этого пр-ва сопоставлена норма ||х|| - числа, к-рое удовл. след. св-вам:

1. ||х|| ≥0, если ||х|| =0, то обязательно х=0.

2. Для люб. вещ.числа λ €R, ||λх|| = |λ|*||x||.

3. Для любых 3х эл-тов x ,y ,z этого пр-ва справедливо нерав-во треуг-ника: ||x+y||= ||x||+ ||у||.

Если ||x||(€R) -норма х и ||x||=тогда св-во 1-3 выполн.-->всякого евклидово пр-во нормируемо.

62. Ортогональное дополнение и его свойства.

Ортог. Дополнением дан. подпр-тва наз.множество всех векторов, ортогональных каждому вектору из дан.подпр-ва.

Т.Ортог. дополние подпр-ва явл. подпр-вом.

Док-во. Если х ,у € , то для любого z€Ек получим (x,z)=0и (у, z) = 0. Откуда следует, что и х + у и λх € , т.к. для люб. z€Ек и λ€R по опр.множ-ва будет (

(х+у,z)=(x,z)+(y,z)=0+0=0и (λх,z)=(xλ,z)=λ(x,z)=0.Т.о. -подпр-во.

Т.Пр-во Еп явл. прямой суммой подпр-во Ек и его ортог. дополнения.

Размерность ортог. дополнения к-мерного подпр-ва Ек пр-ва Еп равна п-k.

Свойства ортогонального дополнения.

1.(=Ek

Док-во.Из опред.ортог.допол.следует,что E_k c(.Пусть E_k ≠(.Тогда существ.z€(,но z не принадл.E_k. E_n=E_k©.-->существ.единств.х€ E_k, у€.:z=x+y.Но (z,y)=0,т.к. z€(и y€(.Но и (х,у)=0, т.к. х€E_k ,y€.След-но 0=(z,y)=(x+y,y)=(y,y)Что мб при y=0.Противоречие ч.т.д.

2.E_k∩0

3.=E₀

4.=E_n

63. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристическое уравнение.

Пусть А – квадр. матрица. Если сущ-ет вещ. число λ, что ур-ие АХ =λ X имеет ненул. реш-е, где X – в-р-столбец, то число λ наз. собственным знач-ем, а вектор X наз.собственным в-ром матрицы А.

Замечая, что X = ЕХ, перепишем дан.ур-ие в виде ур-ния (А -λE )Х = 0, для к-рого по усл. необходимо найти ненул. реш-е..

Допустим опред. квадр. матр. (А -λЕ) отличен от 0. Тогда у неё сущ. обрат. и X = (А-λЕ)^-1* 0= 0. Т. е.реше только нулевое. Сл-но собств. в-рам отвечает опред. матр. (А-λЕ)=0. Т. о. для нахождения собств. зн-ний необходимо решить ур-ие

|A-λE|=0(от эл-тов глав.диагонали отнимаем λ),которое наз. характеристическим ур-нием - многочлен п-степени по λ( дан. ур-ние имеет не более чем п разл. корней).

Т.Собств. вектор, соответствующий дан.собственному зн-нию, определяется с точностью до пост. множителя.

Док-во.Пусть X – собств. в-р матр. А , соответствующий собств. зн-нию λ, тогда АХ =λX . Возьмём произвольное вещ. число с≠0 и подействуем матр. А на в-р сХ : А (с Х )= сАХ = сλХ =λ (сХ ). Т.о. сХ - также собств.в-р матр. А с тем же собств. зн-нием. Ч.т.д.

Т. Если базисные в-ры явл. собств. в-рами квадр.матр. А, то эта матрица диагональна.

Док-во.] баз.в-р e_i,i=1,..,n явл. собств.в-рами матр.А.Тогда Ae_i=,где(aji)=A. Откуда aji=δjiλi,т.е. A –это диаг.матр.,имеющая на глав.диагонали эл-ты λ1,λ2,…,λn.

Т.Если собст.чЧисла λ1,λ2,…,λn , квадр. Матрицы А различны, то отвечающие им собств.в-ры e_n лин.незав.