Решение типовых примеров:

Пример 1. Сумма всех вкладов в некоторой сберегательной кассе составляет 20000000 сумов, а вероятность того, что случайно взятый вклад меньше 100000 сумов, равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков данной сберегательной кассы?

Решение: Пусть Х - величина случайно взятого вклада, а n - число всех вкладчиков, тогда из условия задачи следует, что

,

по неравенству Маркова .

Отсюда ,

Ответ: .

Пример 2.(Правило «трех сигм») Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания менее чем на три средних квадратических отклонения.

Решение: По условию задачи . Подставляя это значение в неравенство Чебышева, мы имеем:

Ответ:

Пример 3. С какой вероятностью можно утверждать, что отклонение средней арифметической 1500 независимых случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,6, если известно, что дисперсия каждой из величин не превышает З?

Решение. Средняя арифметическая n случайных величин также есть случайная величина. Средним значением ее будет величина. . На основании неравенства Чебышева

имеем:

Пример 4. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение: а) X - число отказавших элементов за время Т есть дискретная случайная величина, имеющая биномиальное распределение с параметрами n=10 и р=0,05. Поэтому ; . Воспользуемся неравенством Чебышева . Подставив значения МХ=0,5; DX=0,475 и , получим: .

б) Так как события и противоположны, то сумма вероятностей равна единице. Следовательно, .

Ответ: а) ; б) .

Пример 5. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения:

Хn	-nа	0	na
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева ?

Решение: Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно , чтобы эти величины были попарно независимы и имели равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий. Сначала найдем математические ожидания величин Х_n :

Дисперсии случайных величин X_n равны:

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены числом а², т.е. второе требование выполняется. Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности применима теорема Чебышева.

Ответ:Применима.

Пример 6. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения:

Хn	-nа	0	na
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева ?

Решение: Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Легко найти, что МХ_n=0. Проверим выполнимость требования - равномерной ограниченности дисперсий.

Предположим временно, что n изменяется непрерывно , и исследуем функцию на экстремум. Приравняв первую производную этой функции нулю, найдем критические точки . Отбросим первую точку, как не представляющую интереса (n не принимает значения, равного нулю) ; легко видеть, что в точке функция имеет максимум. Учитывая, что и что n - целое положительное число, вычислим дисперсию для ближайших к числу 2,9 (слева и справа) целых чисел, т.е. для n=2 и n=3: и . Очевидно, . Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна , т.е. дисперсии случайных величин равномерно ограничены числом .

Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности применима теорема Чебышева.

Ответ: применима.