- •Практические занятия по предмету “Теории вероятностей и математическая статистика” 2-курс, направление математика, (рус.Гр.)
- •2.2 Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Пусть требуется изучить множество объектов относительно некоторого качественного или количественного признака.
- •Решение типовых примеров:
- •Гистограмма частот
- •Задания для закрепления:
- •Построить гистограмму частот.
- •Структура денежных доходов и удельный вес расходов в денежных доходах населения (в процентах к денежным доходам) по годам
- •Точечные оценки
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Критерия согласия Пирсона
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
Решение типовых примеров:
Пример 1. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью распределения:
Доказать, что Х и Y - зависимые некоррелированные случайные величины. Решение: Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y (пример 7,(2.7):
Так как , то X и Y зависимые величины. Для того, чтобы доказать некоррелированность Х и Y , достаточно убедиться в том, что . Найдем коэффициент ковариации по формуле:
Поскольку функция симметрична относительно оси ОY, то MX=0; аналогично, MY=0.
Следовательно, .
Вынося постоянный множитель f(x,y) за знак интеграла, получим:
.
Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетна, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно,
, т.е. случайные величины Х и Y некоррелированы.
Пример 2. Найти коэффициенты ковариации и корреляции для двумерной случайной величины (X,Y) из примера 8, §2.7.
Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения f(x,y):
Решение: Плотности распределения составляющих были найдены:
; .
Числовые характеристики оказались равны:
; ; .
Найдем коэффициенты ковариации и корреляции:
Интегрируя по частям и учитывая, что (интеграл Пуассона), находим:
Следовательно, .
Ответ: , .
Пример 3. Найти уравнение прямой регрессии Y на Х для дискретной двумерной случайной величины (X,Y) из примера 1, §2.7.
Двумерная дискретная случайная величина задана следующим законом распределения:
X Y |
x1=2 |
x2=5 |
x3=10 |
y1=1 |
0,30 |
0,10 |
0,10 |
y2=4 |
0,15 |
0,25 |
0,10 |
Решение. Как уже известно законы распределения составляющих Х и Y:
X x1=2 x2=5 x3=10 Y y1=1 y2=4
P 0,45 0,35 0,20 P 0,50 0,50
Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение составляющих Х и Y равны
Найдем коэффициенты ковариации и корреляции
.
.
Коэффициент регрессии Y на Х равен:
и следовательно, уравнение прямой регрессии имеет следующий вид:
или .
Остаточная дисперсия случайной величины Y относительно величины Х равна .
Ответ: ; .
Пример 4. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения : в квадрате ; вне этого квадрата f(x,y)=0. Найти уравнение прямой и обратной регрессии .
Решение: Найдем математическое ожидание составляющей Х:
.
и дисперсию:
.
Дважды интегрируя по частям, находим
Аналогично находятся ;
Найдем коэффициент ковариации:
.
Следовательно, коэффициент корреляции равен:
.
Найдем коэффициент прямой регрессии Y на Х:
и уравнение прямой регрессии :
или .
Остаточная дисперсия случайной величины Y относительно случайной величины Х равна: .
Аналогично находим уравнение обратной регрессии Х на Y:
Найдем коэффициент регрессии Х на Y:
и уравнение обратной регрессии ;
.
Остаточная дисперсия случайной величины Х относительно случайной величины Y равна: .
Ответ: Уравнение прямой регрессии:
Уравнение обратной регрессии: