Решение типовых примеров:

Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, имеющей следующий закон распределения:

Х	1	2	3	4	5
Р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Решение: Находим математическое ожидание случайной величины Х и ее квадрата:

Отсюда, по формуле дисперсии находим:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х равно:

.

Ответ: .

Пример 2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х равны:

Найти математическое ожидание и дисперсию величины

Решение: Согласно свойствам 1-3 математического ожидания, мы имеем:

Согласно свойствам 1-3 дисперсии:

Ответ:

Задания для закрепления:

1. Строительная инвестиционная компания в настоящий момент продает акции по 16 условных денежных единиц за штуку. Инвестор планирует покупку пакета акций и предполагает хранение их в течении года. Пусть Х - случайная величина, означающая цену одной акции спустя год. Ряд распределения Х задан в таблице:

цена акции - Х	Р(Х)
16 17 18 19 20	0,35 0,25 0,25 0,10 0,05

а) Показать, что заданное распределение обладает всеми свойствами ряда распределения.

б) Чему равно ожидаемое среднее значение цены акции спустя один год?

в) Чему равен ожидаемый средний выигрыш от акции спустя год? Чему равен процент возврата инвестиций, отражаемый этим ожидаемым значением?

г) Определите дисперсию цены акции спустя год.

Ответ: б) 17,25; в) 1,25; г) 1,3875.

2. Два строительных контракта случайным образом распределяются среди трех фирм: I, II, III. Любая фирма может получить или один или оба контракта. С каждого полученного контракта прибыль фирмы составит 90000 условных денежных единиц.

а) Найдите ожидаемую прибыль фирмы I.

б) Если фирмы I и II принадлежат одному владельцу, то какова ожидаемая общая прибыль владельца?

Ответ: М(средняя прибыль)=60000; М(общая прибыль)= 120000.

3. Некоторое предприятие планирует реконструкцию и расширение производства для выпуска новой продукции. Руководство предприятия должно определить стратегию реконструкции и выбрать один из двух проектов, предусматривающих большие и умеренные капиталовложения. Неопределенность заключается в том, что спрос на новою продукцию, которую собирается выпускать предприятие неизвестен. Будущий спрос может быть низким, умеренным и высоким. Вероятности оцениваются как 0,20, 0,50 и 0,30 соответственно. Пусть Х означает ежегодный доход 1000 условных денежных единиц. Предприятие планирует следующий доход для проектов с большими и умеренными капиталовложениями:

	доход при значительных вложениях		доход при умеренных вложениях
спрос	Х	Р(Х)	Х	Р(Х)
низкий умеренный высокий	0 100 300	0,20 0,50 0,30	50 150 200	0,20 0,50 0,30

а) вычислите ожидаемое среднее значение дохода при двух альтернативных типах реконструкции предприятия. Какое решение предпочтительнее для максимизации ожидаемого дохода?

б) вычислите дисперсию дохода для двух альтернативных проектов. Какое решение Вы предпочтете для минимизации риска и неопределенности?

Ответ: а) М(Х) = 145; 140; б) D(Х) = 2725; 12400.

4. Доход от некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 условных денежных единиц с заданным рядом распределения:

xi	-2000	-1000	0	1000	2000	3000
P(X=xi)=pi	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1

Замечание: -2000, -1000 означают убыток.

а) какой наиболее вероятностный денежный доход рискованного бизнеса?

б) является ли этот риск вероятностно успешным? Объясните.

в) чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса?

Ответ: в) 800.

5. Найти математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение случайной величины Х для условия задачи 7 предыдущего параграфа.

Ответ:

6. Для закона распределения задачи 5 предыдущего параграфа определить ожидаемую среднюю сумму штрафа, если предположить, что штраф, предъявляемый машинистке за ошибки, исчисляется как корень квадратный из числа ошибок на страницу, и каждая единица приравнивается к 1 условной денежной единице.

Ответ: 1,73 усл. ден. ед.

7. Исходя из закона распределения ежедневных продаж автомобилей, соответствующего данным, условия задачи 8 предыдущего параграфа, определить ожидаемую среднюю сумму заработка продавца, если предположить, что он зарабатывает сумму, которая рассчитывается как корень квадратный из числа проданных автомобилей, умноженный на 300 условных денежных единиц.

Ответ: 465,85797 усл. ден. ед.

8. Чему равен ожидаемый процент людей, откликнувшихся на рекламу, если ряд распределения такой же, как и в задаче 6 из предыдущего параграфа? Чему равны дисперсия и среднее квадратическое отклонение?

Ответ:

9. По данным условия задачи 4 предыдущего параграфа определить чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее.

Ответ: 0,3.

10. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения :

Х 0,21 0,54 0,61

р 0,1 0,5 0,4

Ответ: MХ=0,535.

11. Найти математическое ожидание случайной величины Z=3Х+4Y, если известно, что МХ=2 и МY=6.

Ответ: MZ=30.

12. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=2Х+3Y, если известно, что DХ=4 и DY=5.

Ответ: DZ=61.

13. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: ,

а так же даны математическое ожидание этой величины и ее квадрата: МХ=2,3 и МХ²=5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

Ответ: .

14. Дискретная случайная величина Х имеет только три значения: , причем . Вероятности того, что Х примет значения х₁ и х₂ , соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины Х, зная ее математическое ожидание МХ=2,2 и дисперсию DХ= 0,76.

Ответ: Х 1 2 3

р 0,3 0,2 0,5.

15. Брошены n игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появится на всех выпавших гранях.

Ответ: DХ=35n/12.

16. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х - числа партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия; если проверке подлежит 50 партий.

Ответ: .

17. Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно m шестерок, если общее число бросаний равно N.

Ответ: .

9-Занятие. Моменты высокого порядка. Коэффициент корреляции и свойства

Начальный момент порядка k непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: .

Центральный момент порядка k непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:

.

Очевидно, что если k=1, то .

Центральные моменты выражаются через начальные моменты по следующим формулам: