Решение типовых примеров:

Пример 1. Случайная величина Х задана плотностью распределения:

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.

Решение: Согласно определениям математического ожидания и дисперсии имеем:

.

И, наконец,

Ответ:

Пример 2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Определить начальный и центральные моменты третьего порядка случайной величины Х.

Решение: Найдем дифференциальную функцию Х:

Согласно определению математического ожидания имеем:

Начальный момент третьего порядка находим по формуле :

И, наконец, центральный момент третьего порядка равен:

Ответ: ; .

Пример 3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией в интервале ; вне этого интервала . Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно дифференциальной функции Y) .

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления математического ожидания функции от случайного аргумента:

Интегрируя по частям, окончательно получим

. Ответ: .

Пример 4. Случайная величина X задана дифференциальной функцией в интервале ; вне этого интервала . Найти: а) моду; б) медиану величины Х.

Решение: а) легко убедиться, что функция в интервале не имеет максимума, поэтому Х моды не имеет.

б) Найдем медиану М_е Х , исходя из определения: . Учитывая, что по условию возможные значения Х положительны, перепишем это равенство так, или . Отсюда . Следовательно, искомая медиана равна .

Ответ: а) Х не имеет моды; б) медиана равна .

Пусть (X,Y) двумерная случайная величина. Коэффициент ковариации (X,Y) определяется следующим образом:

или .

Коэффициент ковариации находится по формулам:

,

если X и Y дискретные случайные величины , и

, если X и Y непрерывные случайные величины и f(x,y) - плотность их совместного распределения.

Для характеристики связи между величинами X и Y служит коэффициент корреляции

.

Для любых двух случайных величин . Если случайные величины X и Y независимы, то . Случайные величины называются некоррелированными, если . Две некоррелированные случайные величины также и зависимы. Из некоррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность.

Пусть (X,Y) двумерная случайная величина, где Х и Y - зависимые случайные величины. Представим одну из величин как линейную функцию другой .

Линейная средняя квадратическая регрессия (или просто линейная регрессия) Y на Х имеет вид:

,

где MX, MY - математические ожидания, - средние квадратичные отклонения, - коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

Коэффициент называют коэффициентом регрессии Y на Х , а прямую

называют прямой регрессии. Величину называют остаточной дисперсией случайной величины Y относительно случайной величины Х; она характеризует величину ошибки, которую допускают при замене Y линейной функцией . При остаточная дисперсия равна нулю и величины Y и Х связаны линейной функциональной зависимостью.

Аналогично можно получить прямую регрессии Х на Y :

( коэффициент регрессии Х на Y) и остаточную дисперсию величины Х относительно Y.

Если , то обе прямые регрессии и совпадают. Из уравнений регрессии следует, что обе прямые регрессии проходят через точку (MX,MY) - центр рассеивания двумерной случайной величины (Х,Y).