Задания для закрепления:

1. Случайная точка (X,Y) на плоскости распределена по следующему закону:

X Y	-1	0	1
0	0,10	0,15	0,20
1	0,15	0,25	0,15

Найти числовые характеристики (X,Y),

Ответ:

2. Двумерная случайная величина (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью в области D и равна нулю вне той области. Область D - треугольник, ограниченный прямыми . Найти величину А, математические ожидания MX, MY, дисперсии DX, DY,

3. Ответ: ,

3. Найти уравнение прямой и обратной регрессии для дискретной двумерной случайной величины из задания 1 настоящего параграфа, т.е. закон распределения случайной величины (X,Y) :

X Y	-1	0	1
0	0,10	0,15	0,20
1	0,15	0,25	0,15

Ответ: уравнение прямой регрессии:,

остаточная дисперсия;

уравнение обратной дисперсии: ,

остаточная дисперсия.

4. Найти уравнение прямой и обратной регрессии для дискретной двумерной случайной величины из задания 2 настоящего параграфа, т.е. двумерная случайная величина (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью в области D и равна нулю вне той области. Область D - треугольник, ограниченный прямыми .

Ответ: уравнение прямой регрессии:,

уравнение обратной регрессии: ,

остаточные дисперсии: .

15-Занятие. Метод доверительных интервалов для оценки неизвестных параметров

Решение типовых примеров:

Пример 1. Признак Х распределен в генеральной совокупности нормально с известным . Найти по данным выборки доверительный интервал для а с надежностью , если .

Решение: Требуется найти доверительный интервал . Здесь все величины, кроме t, известны. Найдем t. Для находим по таблице №4 . Следовательно, . Концы доверительного интервала определяем: 6,34-0,23=6,11 и 6,34+0,23=6,57. Итак, доверительный интервал (6,11; 6.57) покрывает параметр а с надежностью 0,99.

Ответ: (6,11; 6,57) .

Пример 2. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней будет равна , если известно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.

Решение: Воспользуемся выражением, определяющим точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней:

.

Отсюда . По условию или . По таблице №4 найдем t=2,24. Подставив полученное значение, получим искомый объем выборки:

.

Ответ: .

Пример 3. Аналитик фондового рынка оценивает среднюю доходность определенных акций. Случайная выборка 15 дней показала, что средняя (годовая) доходность со средним квадратическим отклонением . Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения, постройте 95% доверительный интервал для средней доходности вида акций интересующего аналитика.

Решение: Поскольку среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности неизвестно, то используем формулу

Найдем из таблицы №5 Приложения значение Используя это значение, построим доверительный интервал :

.

Следовательно, аналитик на 95% может быть уверен, что средняя годовая доходность по акциям находится между 8,43% и 12,31%.

Ответ: .

Пример 4. На фабрике работает автоматическая линия по фасовке растворимого кофе в жестяные 100 - граммовые банки. Если средняя масса наполняемых банок отличается от точной, то линия налаживается для подгонки средней массы в рабочем режиме. Если дисперсия массы превышает заданное значение, то линия должна быть остановлена на переналадку. Время от времени производится отбор банок с кофе для проверки средней массы и ее колебаемости. Предположим, что с линии в случайном порядке отобрано 30 банок с кофе и оценка несмещенной дисперсии s = 18,540. Постройте 95%-ый доверительный интервал для генеральной дисперсии. (генеральная совокупность предполагается нормально распределенной)

Решение: Находим по таблице №6 значение q соответствующее объему выборки n=30 и уровню надежности : . Так как q<1, то доверительный интервал для генеральной дисперсии равен:

Ответ: .

Пример 5. Необходимо оценить долю потребителей, предпочитающий определенный продукт. Пусть в случайной выборке из 500 потребителей 370 купили интересующий нас продукт. а) найти 99%-ый доверительный интервал, накрывающий долю потребителей, купивших данный продукт; б) найти вероятность того, что истинная доля их отличается от найденной выборочной доли не более, чем на 4 %.

Решение: а) точечной оценкой доли потребителей является их относительная частота: w=370/555=0,74. Найдем доверительный интервал для оценки генеральной доли р с надежностью =0,99. Так как n достаточно большое число (n>100), то

.

Находим из уравнения по таблице №4 приложения: . Сначала найдем погрешность (точность) оценивания:

.

Искомый доверительный интервал:

0,7303<p<0,7497.

б) Из условия следует, что погрешность

Отсюда . Искомая вероятность равна:

.

Ответ: а) (0,7303;0,7497); б) 0,9586.

Пример 6. Фирма решила открыть ювелирный магазин в новом районе города и хотела бы оценить долю людей, заинтересованных в изделиях магазина. Компания хотела бы знать оценку генеральной доли с точностью и доверительной вероятностью 0,99. Для этого предлагается провести опрос жителей города. По опыту предыдущих опросов компания может считать, что генеральная доля колеблется около 0,25. Чему равен необходимый объем выборки для оценки генеральной доли?

Решение: По определению точности . Откуда

.

Находим из уравнения по таблице №4 . Далее

.

Компания должна произвести опрос 125 человек, отобранных случайным образом.

Ответ: 125 человек.