Підготовка до іспиту Екзаменаційні питання
Визначення матриці. Види матриць.
Дії над матрицями: додавання, множення на число, множення матриць, транспонування.
Визначник матриці. Обчислення визначників другого й третього порядку.
Властивості визначника.
Зворотна матриця. Схема обчислення зворотної матриці. Приклад.
Розв’язання систем лінійних рівнянь матричним методом. Приклад.
Розв’язання систем трьох лінійних рівнянь методом Крамера й Гауса.
Основні визначення векторної алгебри: вектор, довжина вектору, орт, розкладання вектору по одиничним ортам, колінеарність векторів.
Координати вектору, колінеарність векторів, Довжина вектору, координати середини вектору.
Скалярний добуток векторів, його властивості. Кут між векторами.
Векторний добуток векторів і його властивості. Геометричний зміст векторного добутку.
Мішаний добуток векторів. Геометричний зміст мішаного добутку. Умова компланарності векторів.
Загальне рівняння прямої на площині. Окремі випадки. Кут між прямими. Умова паралельності й перпендикулярності двох прямих.
Канонічне рівняння прямої на площині. Зв'язок з параметричним рівнянням. Кут між прямими. Умова паралельності й перпендикулярності двох прямих.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Окремі випадки. Кут між прямими. Умова паралельності й перпендикулярності двох прямих.
Канонічне рівняння прямої на площині. Зв'язок з параметричним рівнянням. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (на площині). Відстань від точки до прямої.
Коло. Канонічне рівняння кола.
Еліпс. Дослідження еліпса по канонічному рівнянню (при a>b).
Еліпс. Дослідження еліпса по канонічному рівнянню (при a<b).
Гіпербола. Дослідження гіперболи по її канонічному рівнянню (якщо 2a – дійсна вісь).
Гіпербола. Дослідження гіперболи по її канонічному рівнянню (якщо 2b – дійсна вісь).
Парабола. Канонічне рівняння параболи.
Загальне рівняння площини. Кут між двома площинами. Умова паралельності й перпендикулярності двох площин.
Рівняння площини, яка проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках.
Канонічне й параметричне рівняння прямої в просторі. Кут між прямими. Умова паралельності й перпендикулярності двох прямих.
Загальне рівняння прямої в просторі, заданої перетинанням двох площин.
Взаємне розміщення двох прямих у просторі.
Кут між прямою й площиною. Умови паралельності й перпендикулярності прямої і площини.
Екзаменаційні задачі
Розв'язати рівняння
Розв'язати нерівність
Розв'язати систему матричним способом, методом Гауса, Крамера:
Знайти точку A(x;y;z) в якій знаходиться початок вектора а=(2;3;-1), якщо кінець його збігається з точкою В(1;2;-1). Скласти рівняння прямої, яка проходить через А і В.
Дана трапеція А(3;-1;2), В(1;2;-1), С(-1;1;-3) і D(3;-5;3),
.
Написати рівняння середньої лінії
трапеції. Написати рівняння діагоналей
трапеції.Дано вершини трикутника ABC:
.
Написати рівняння висоти, проведеної
з вершини
.Дано вершини А(2;-1;4), В(3;2;-6) і С(-5;0;2) трикутника. Скласти рівняння медіани, проведеної з вершини А.
Дано трикутник ABC, A(4;0;-2), В(-2;-6;4) і С(4;3;2). Знайти кут між сторонами АВ і АС.
Обчислити площу трикутника з вершинами в точках А(1;-1;2), В(5;-6;2) і С(1;3;-1). Скласти рівняння сторони АВ.
Обчислити об’єм тетраедра з вершинами в точках А(1;1;1), В(2;0;2) С(2;2;2) і D(3;4;-3).
Встановити, чи належать точки одній прямій:
.Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки, якщо:
,
,
.Знайти точку перетину прямої та площини:
,
Знайти точку перетину трьох площин:
