Вказівки до виконання семестрового завдання (частина 2)

Завдання 1. Розглянемо типові задачі, які зустрічаються у різних варіантах.

Приклад 1. Скласти рівняння висоти трикутника, заданого точками , , .

Розв’язання.

Складемо загальне рівняння висоти за формулою: . Висота проходить через точку , значить, вважаємо , тобто .

Тому що є висотою трикутника, і перпендикулярні між собою. Вектор вважаємо за нормальний. .

Тепер можемо підставляти значення у формулу:

.

Далі маємо:

― рівняння прямої у загальному вигляді.

Приклад 2. Трикутник заданий точками . Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно .

Розв’язання.

Скористаємося канонічним рівнянням прямої: .

Шукана пряма проходить через точку , значить, . Вектор являється напрямним вектором для даної прямої, тобто

.

Запишемо рівняння прямої:

.

Звідки ― шукане рівняння у загальному вигляді.

Приклад 3. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно прямій .

Розв’язання.

.

Умова перпендикулярності: . Звідки .

Рівняння шуканої прямої запишемо у вигляді :

.

або у загальному вигляді .

Приклад 4. Скласти рівняння медіани трикутника, заданого точками , , .

Розв’язання.

Рівняння медіани будемо шукати як рівняння прямої, що проходить через дві точки та :

Координати точки знайдемо як координати середини відрізка :

.

Отже,

.

Точка має координати

Можемо скласти рівняння медіани:

; .

Отримали рівняння медіани у канонічному вигляді. Приведемо це рівняння до загального вигляду:

; ; або .

Маємо рівняння медіани у загальному вигляді .

Завдання 2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту , опущену з вершини на грань :

Розв’язання.

З вершини проводимо вектори:

.

Об’єм піраміди обчислимо за формулою:

.

З іншого боку об’єм тетраедра обчислюється формулою:

Площа основи піраміди обчислюється через векторний добуток:

Завдання 3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де

Розв’язання.

Відстань від точки до площини знаходять за формулою:

Рівняння площини, яка проходить через три точки , , :

Маємо,

Тепер знаходимо шукану відстань:

Завдання 4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де

Розв’язання.

Рівняння площини шукаємо у загальному вигляді:

.

За нормальний вектор можна взяти вектор :

.

.

Рівняння площини буде таким:

Завдання 5. Визначити кут між площинами

та .

Розв’язання.

Вектори, перпендикулярні до даних площин, будуть: , . Кут між площинами дорівнює куту між векторами і . Отже,

.

Завдання 6. Скласти канонічне рівняння прямої, заданої перетинанням площин

Розв’язання.

Рівняння прямої шукаємо у вигляді:

Знайдемо будь-яку точку , яка лежить на прямій, по якій перетинаються площини. Положимо , тоді маємо:

Розв’язуючи цю систему, отримуємо: .

Отже, ― точка, що належить прямій.

Знайдемо координати напрямного вектора за формулою:

Тоді

, .

Тобто канонічне рівняння шуканої прямої записати можна так:

,

Завдання 7. Знайти точку перетину прямої з площиною .

Розв’язання.

Запишемо канонічне рівняння прямої у параметричному вигляді:

Отримані вирази для підставимо у рівняння площини:

.

Звідки .

Підставивши значення у параметричне рівняння прямої, знайдемо загальну точку прямої і площини:

Отже, – шукана точка перетину прямої і площини.