Эпюр 2. Пересечение поверхности с плоскостью (пример 1)

Содержание эпюра. Даны пирамида и плоскость общего положения, требуется:

задача 1 – построить линию пересечения пирамиды с плоскостью и определить видимость фигур;

задача 2 – определить истинную величину сечения.

Образец выполнения эпюра №2 представлен на рисунке 14.

Указания к выполнению эпюра

Данные взять из Приложения (задания к эпюру №2). Считать секущие плоскости непрозрачными. Истинную величину сечения определить способом, который должен задать преподаватель. Это может быть способ перемены плоскостей проекций, плоскопараллельное перемещение, вращение, совмещение.

Эпюр, выполненный без согласования с преподавателем способа определения истинной величины сечения, к зачету не принимается.

Пояснения к выполнению эпюра 2 (нахождение истинной величины сечения способом замены плоскостей проекций) Задача 1

В первой задаче контрольной работы требуется построить линию пересечения пирамиды с плоскостью и определить видимость пирамиды относительно секущей плоскости, а также секущей плоскости относительно пирамиды.

Э тап 1 (рис.10). В данной задаче дана пирамида SАВС и секущая плоскость, представленная двумя пересекающимися в точке О прямыми, одна из которых, по заданию, является фронталью (f), а другая горизонталью (h).

Для построения линии пересечения, необходимо сначала

Рис. 10. Этап 1 Рис. 11. Этап 2

найти точки пересечения ребер пирамиды секущей плоскостью. Построение начнем с фронтальной плоскости проекций. Определим точку пересечения горизонтали h2 c ребром S₂А₂ – это точка 1₂. Найдем горизонтальную проекцию точки 1₂ на горизонтальной проекции горизонтали – это точка 1₁. Теперь найдем точку пересечения фронтальной проекции фронтали f₂ c ребром S₂А₂ и ее проекцию на горизонтальной плоскости проекций – это будут точки 2₂ и 2₁.

Аналогичным способом находим точки 3₂ и 4₂, рассматривая при этом пересечение прямых f₂ и h₂ c ребром S₂C₂ на фронтальной плоскости проекций и затем находя проекции точек на горизонтальной плоскости проекций – 3₁ и 4₁.

Точно также определяем точки пересечения прямых f₂ и h₂ с ребром S₂B₂ – это точки 5₂ и 6_2, а затем находим их соответствующие проекции на горизонтальной плоскости проекций – это точки 5₁ и 6₁. На горизонтальной плоскости проекций соединяем прямыми отрезками точки 1₁ и 2₁; 3₁ и 4_1; 5₁ и 6₁.

Этап 2 (рис.11). Следующий этап построения заключается в нахождении точек пересечения построенных отрезков с ребрами пирамиды на горизонтальной плоскости проекций. Рассмотрим отрезок 1₁2₁. Он пересекает ребро S₁А₁ в точке К₁. Находим фронтальную проекцию точки К₁ на фронтальной плоскости проекций на ребре S₂А₂, используя проекционную связь – это будет точка К₂.

Для того, чтобы построить точку пересечения отрезка 3₁4₁ с ребром S₁С₁, необходимо продолжить отрезок 3₁4₁ за пределы точки 4₁. Точку пересечения обозначим N₁. Найдем соответствующую проекцию этой точки на фронтальной плоскости проекций на ребре S₂С₂ и обозначим ее N₂.

Аналогично поступим и с отрезком 5₁6₁. Продолжим его за пределы точки 6₁ и обозначим точку пересечения этой прямой с ребром S₁В₁. Это точка М₁. Построим ее фронтальную проекцию на ребре S₂В₂ – это будет точка М₂.

Таким образом, мы получили точки пересечения ребер пирамиды с секущей плоскостью.

Этап 3 (рис.12). На рисунке 12 показан дальнейший ход решения задачи. Для удобства его объяснения мы убрали линии предыдущих построений, оставив только точки пересечения ребер пирамиды с секущей плоскостью, но студентам этого делать не нужно – следует выполнять последующие построения, не убирая предыдущих.

Рис. 12. Этап 3

Соединим точки К₁, М₁ и N₁ на горизонтальной плоскости проекций, а также точки К_2, М₂ и N₂ на фронтальной плоскости проекций.

Теперь мы будем делать построения на фронтальной плоскости проекций. Продолжим f₂О₂ на произвольную длину за пределы О₂ и проведем к f₂О₂ перпендикулярную прямую. Этим действием мы задали новую плоскость проекций π₄, перпендикулярную к фронтальной плоскости проекций π₂. Обозначим ее ось - Х_2,4.

Из точек К_2, М₂ и N₂ проведем линии, перпендикулярные оси Х_2,4 (пока произвольной длины).

На линии, проведенной из точки К₂, начиная от оси Х_2,4, отложим отрезок a, равный расстоянию от оси Х_1,2 до К₁ (на горизонтальной плоскости проекций). Полученную точку обозначим К₄.

На линии, проведенной из точки N₂, начиная от оси Х_2,4, отложим отрезок b, равный расстоянию от оси Х_1,2 до N₁ (на горизонтальной плоскости проекций). Полученную точку обозначим N₄.

На линии, проведенной из точки М₂, начиная от оси Х_2,4, отложим отрезок с, равный расстоянию от оси Х_1,2 до М₁ (на горизонтальной плоскости проекций). Полученную точку обозначим М₄.

Точки К_4, N₄ и М₄ соединим. Если построение сделано правильно, то должна получиться прямая линия.

Если кратко раскрыть смысл выполненных построений, то он заключается в том, что мы ввели новую плоскость проекций для того, чтобы сечение, представленное треугольником К₂М₂N_2, заняло проецирующее положение относительно новой плоскости π₄ и спроецировалось в прямую линию.

При определении видимости фигур нужно мысленно представить пирамиду и секущую плоскость в пространстве и, сопоставляя горизонтальную и фронтальную проекции, определить, какая часть пирамиды закрыта плоскостью, а какая часть плоскости закрыта пирамидой.