Задача 2

Этап 4 (рис. 4). На этом этапе необходимо решить вторую задачу эпюра 1, т.е. построить плоскость, параллельную плоскости, заданной треугольником АВС, и отстоящую от неё на 50 мм. Построение начинаем с того, что через любую вершину ΔАВС проводим линию параллельную перпендикуляру DК. На фронтальной плоскости (π₂) эта линия будет // (параллельна) D₂К₂, а на горизонтальной плоскости (π₁) - // D₁К₁. Отмечаем во фронтальной плоскости проекций (π₂) на только что проведенной // перпендикуляру D₂К₂ линии через вершину С₂ любую произвольную точку Р₂. Находим ее проекцию на горизонтальной плоскости проекций (π₁) на линии, проведенной через точку С₁ параллельно перпендикуляру D₁К₁. Методом прямоугольного треугольника находим натуральную величину отрезка С₂Р₂. Для этого необходимо найти и измерить разность расстояний от точек С₁ и Р₁ до оси Х. На рис. 4 это расстояние обозначено буквой l. Теперь нужно возвратиться на фронтальную проекцию и провести перпендикуляр в точке С₂ к отрезку С₂Р₂. На нем отложить отрезок l и конечную точку N₂ соединить с точкой Р₂. Полученный отрезок N₂P₂ и будет натуральной величиной отрезка С₂Р₂. Именно на отрезке N₂P₂ от точки N₂ нужно отложить расстояние, равное 50 мм, и из конечной точки провести линию параллельную отрезку N₂С₂, которая пересечет отрезок С₂Р₂ в точке Т ₂ (бывают случаи, когда истинная величина отрезка С₂Р₂, т.е. отрезок N₂С₂, меньше, чем требуемое по условию задачи расстояние 50мм. Это не должно смущать студента, так как отрезок N₂P₂ можно продолжить за точку Р₂, также как отрезок С₂Р₂).

Теперь, когда точка Т₂, которая отстоит от плоскости ΔАВС на 50мм, найдена, нужно найти ее горизонтальную проекцию, используя проекционную связь. Точка Т₁ будет располагаться на отрезке С₁Р₁. Далее необходимо задать плоскость, параллельную ΔАВС, используя свойство параллельности плоскостей, смысл которого следующем: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Возьмем две, пересекающиеся в точке С_2, стороны С₂В₂ и С₂А₂ и через точку Т₂ проведем прямые, одна из которых параллельна С₂В₂, а другая - С₂А₂. Ограничим угол В₂С₂А₂ волнистой линией. Это будет плоскость, заданная двумя, пересекающимися в точке Т_2, прямыми, параллельная ΔАВС. На горизонтальной плоскости проекций через точку Т₁ проведем одну прямую, параллельную стороне С₁В₁, а другую прямую - параллельную С₁А₁. Полученный угол В₁С₁А₁ ограничим волнистой линией. Таким образом, мы получили горизонтальную проекцию плоскости, параллельную ΔАВС, которая образована двумя пересекающимися прямыми.

Задача 3

В задаче 3 искомая плоскость, перпендикулярная к заданной, должна содержать в себе заданную прямую и перпендикуляр, опущенный из любой точки этой прямой на заданную плоскость. Точки пересечения заданной прямой и перпендикуляра определяют линию пересечения искомой и заданной плоскостей. Видимость плоскостей определяется при помощи конкурирующих точек скрещивающихся прямых, принадлежащих этим плоскостям.

Этап 5 (рис.5). Построения, выполняемые на этапе 5, повторяют построения, выполненные на этапах 1 и 2 и заключаются в построении перпендикуляров из точек D₁ и D₂ на проекции плоскости, заданной ΔАВС. Дело в том, что плоскость, которая должна пересечь ΔАВС, по условию задачи ей перпендикулярна, значит, одна из сторон новой плоскости, заданной скрещивающимися прямыми, должна являться перпендикуляром к ΔАВС. Точки К₁ и К₂ являются точками пересечения перпендикуляров, опущенных из точек D₁ и D₂ на горизонтальную и фронтальную плоскости ΔАВС. Эти точки являются началами отрезков, по которым будет проходить пересечение двух плоскостей. Но для построения плоскости необходимо ввести в наш чертеж точки Е₁ и Е₂.

Р ис.5. Этап 5 Рис. 6. Этап 6

Этап 6 (рис.6). На горизонтальной проекции через прямую D1 Е 1 задаем секущую плоскость  и отмечаем точки пересечения D1 Е 1 с ΔА₁В₁С₁. 5₁ и 6₁. Находим их соответствующие проекции на фронтальной плоскости – 5₂ и 6_2. Точки 5₂ и 6₂ соединяем между собой и продолжаем этот отрезок до пересечения с прямой Е₂D₂. Получили точку F₂.

Этап 7 (рис.7). Соединяем точки F₂ и К₂ на фронтальной плоскости проекций, а также точки F₁ и К₁ на горизонтальной плоскости проекций. Отрезки F₂ К₂ и F₁К₁ – являются линиями пересечения заданной плоскости ΔАВС и искомой, перпендикулярной заданной.

Этап 8 (рис.8). На последнем этапе необходимо определить видимость пересечения двух плоскостей. Это можно определить, используя метод конкурирующих точек скрещивающихся прямых, которым принадлежат эти точки.

Р ис.7. Этап 7 Рис. 8 Этап 8

Возьмем точку 6₁, в которой скрещиваются прямые С₁А₁ и Е₁D₁, и подымем проекционную связь на фронтальную плоскость проекций. По этой проекционной связи проследим сверху вниз расположение прямых С₂А ₂ и Е₂D₂. Нас интересует, какая из этих прямых встретится на нашем пути (сверху вниз) раньше. Первой мы встречаем прямую Е₂D₂, а затем прямую С₂А₂. Из этого можно сделать вывод, что на горизонтальной проекции из двух рассматриваемых скрещивающихся прямых выше лежит прямая Е₁D₁. Это значит, что в этой плоскости проекций плоскость, заданная пересекающимися прямыми Е₁D₁ и К₁D₁,находится выше плоскости, заданной ΔАВС, значит, в этом месте она будет видимой до линии пересечения F₁К₁, а ΔАВС – невидимым.

Чтобы определить видимость пересекающихся плоскостей на фронтальной плоскости проекций, возьмем точку 4₂. В этой точке скрещиваются прямые С₂А₂ и D₂4₂ Опустим проекционную связь из этой точки на горизонтальную проекцию. И проследим, какая из прямых С₁А₁ и D₁4₁ встретится нам раньше, если смотреть на них внизу вверх. Как видно из чертежа, первой встречается С₁А₁, а затем D₁4₁. Это говорит о том, что на фронтальной проекции (с которой мы начинали свое исследование) ΔАВС, которому принадлежит прямая С₁А₁, будет видимым, плоскость заданная пересекающимися прямыми Е₁D₁ и К₁D₁ – невидимой. Для более наглядного изображения нужно заштриховать одну из пересекающихся плоскостей и показать невидимые стороны плоскостей пунктирной