- •Понятие функции, способы задания функции.
- •Основные характеристики функции.
- •Основные элементарные функции.
- •Последовательность. Предел последовательности.
- •Сходящиеся и ограниченные последовательности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними.
- •Свойства сходящихся последовательностей.
- •Предел функции.
- •Единственность предела функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Иx свойства.
- •Необходимое и достаточное условие существования предела функции. Теорема о представлении функции, имеющей предел:
- •Арифметические операции с пределами.
- •Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
- •Первый замечательный предел.
- •Второй замечательный предел.
- •Следствия из второго замечательного предела.
- •Сравнение бесконечно малых.
- •Непрерывность функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Теоремы о непрерывных функциях.
- •Производная функции одной переменной.
- •Связь между непрерывностью функции и существованием производной.
- •Геометрический и физический смысл производной. Геометрический смысл производной.
- •Правила вычисления производной.
- •Производные тригонометрических функций.
- •Производные обратных тригонометрических функций.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •Логарифмическое дифференцирование. Производная степенной функции.
- •Дифференциал, его геометрический смысл, правила вычисления.
- •Геометрический смысл дифференциала.
- •Применение дифференциала.
- •Производные высших порядков. Производная высших порядков.
- •Механический смысл второй производной.
- •Уравнение касательной и нормали к кривой.
Производные тригонометрических функций.
1) .
= = . .
2) .
Доказывается аналогично первому: .
3) .
= = .
4) y=ctg x. .
Производные обратных тригонометрических функций.
1) y=arcsin x. .
2) y=arccos x. .
3) y=arctg x. .
4) y=arcctg x. .
Производные логарифмической и показательной функций.
1. .
= = = = следствие из второго замечательного предела = =
´= .
2. . y= .
= = .
.
3. .
= = = =
= = .
.
4. y=еx.
.
.
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть функция имеет производную в точке t0, а функция имеет производную в точке . Тогда производная сложной функции в точке t0 будет равна:
.
Пример: ,
Производная обратной функции.
Теорема. Пусть функция монотонна на интервале (a,b) (возрастает или убывает) и имеет производную в каждой точке этого интервала. Если в точке x0 , то обратная функция также имеет производную в соответствующей точке y0, причем
.
Логарифмическое дифференцирование. Производная степенной функции.
Пусть функция .
Прологарифмируем эту функцию по основанию e: .
Возьмем производную левой и правой части равенства, считая y функцией от x: .
производная правой части: .
Выразим отсюда y.
Описанный прием называется логарифмическим дифференцированием.
.
; ; ; ;
Производная неявной функции.
Уравнение F(x,y)=0 задает y, как неявную функцию от x.
Пример: ( – явное задание функции).
Чтобы продифференцировать функцию, заданную неявно, нужно взять производную левой и правой части уравнения, считая y функцией от x. Затем выразить из этого уравнения y.
Пример: ; ; ; ; – производная.
Производная функции, заданной параметрически.
Функция задана параметрически, если зависимость y от x осуществляется с помощью параметра t: , где tT.
Пример: ‒ параметрическое уравнение окружности с центром C(0,0) и радиусом R.
‒ параметрическое уравнение эллипса, где a и b большая и малая полуоси.
Вычисление производных функции, заданной параметрически:
Чтобы получить явную зависимость y от x, нужно из системы исключить параметр t. Для этого предполагаем, что для функции на промежутке t существует обратная функция . Тогда – сложная функция. Продифференцируем: .
; .
Дифференциал, его геометрический смысл, правила вычисления.
Дифференциал функции.
Пусть функция определена в точке x0 и ее окрестности. Дадим x0 приращение x тогда функция получает приращение y где А - число (x) - бм более высокого порядка малости чем x. Выражение Ax называют главной частью приращения y.
Определение: Дифференциалом функции называют главную часть ее приращения, линейную относительность x.
Обозначают: dy или df, dy=df=A·x, где x 0.
Определение: Функция, имеющая дифференциал в точке x0, называется дифференцируемой в этой точке.
Теорема: Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в точке x0 конечную производную.
Дифференциал , где x – приращение аргумента и обозначается dx, тогда окончательно дифференциал:
.
Пример: .