- •Понятие функции, способы задания функции.
- •Основные характеристики функции.
- •Основные элементарные функции.
- •Последовательность. Предел последовательности.
- •Сходящиеся и ограниченные последовательности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними.
- •Свойства сходящихся последовательностей.
- •Предел функции.
- •Единственность предела функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Иx свойства.
- •Необходимое и достаточное условие существования предела функции. Теорема о представлении функции, имеющей предел:
- •Арифметические операции с пределами.
- •Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
- •Первый замечательный предел.
- •Второй замечательный предел.
- •Следствия из второго замечательного предела.
- •Сравнение бесконечно малых.
- •Непрерывность функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Теоремы о непрерывных функциях.
- •Производная функции одной переменной.
- •Связь между непрерывностью функции и существованием производной.
- •Геометрический и физический смысл производной. Геометрический смысл производной.
- •Правила вычисления производной.
- •Производные тригонометрических функций.
- •Производные обратных тригонометрических функций.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •Логарифмическое дифференцирование. Производная степенной функции.
- •Дифференциал, его геометрический смысл, правила вычисления.
- •Геометрический смысл дифференциала.
- •Применение дифференциала.
- •Производные высших порядков. Производная высших порядков.
- •Механический смысл второй производной.
- •Уравнение касательной и нормали к кривой.
Производная функции одной переменной.
О пределение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Дадим x0 приращение x так, чтобы точка принадлежала указанной окрестности. Тогда функция получит приращение y. .
Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, то он называется производной функции f(x) в точке x0.
.
Обозначают производную , , y', , .
Замечание: Если изменить x0, то будет изменяться и производная функции в точке x0, следовательно, производная функции тоже является функцией.
Пример: Найти по определению производную функции y=x2.
Возьмем произвольную точку x, дадим приращение x, xx+x. Функция получит приращение y: = = = .
Рассмотрим предел = =
Итак, производная .
Связь между непрерывностью функции и существованием производной.
Теорема: Если функция имеет конечную производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Док-во:
По определению производной: =
Обозначим
Тогда .
По теореме о представлении функции, имеющей предел:
, где ‒ б/м при .
при Δx→0.
По второму определению непрерывности, если б/м приращению аргумента соответствует б/м приращение функции, то непрерывна в точке х0.
Ч.т.д.
Геометрический и физический смысл производной. Геометрический смысл производной.
Н а графике функции возьмем точку М0 с координатами (x0,y0) и точку N с координатами ( ; ). Проведем через эти точки секущую.
О
y0=y(x0)
y(x0+Dx)
x0
x0+ x
пределение: Касательной к графику функции в точке M0(x0,y0) называется предельное положение секущей M0N, когда точка N стремится к точке M0 по графику.С одной стороны tg является угловым коэффициентом секущей, с другой стороны из прямоугольного треугольника: .
К огда точка NM по графику, тогда приращение
аргумента x0, при этом угловой коэффициент
касательной .
Переходя к пределу при ,
получаем .
Геометрический смысл производной заключается в следующем: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0.
.
Физический смысл производной.
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S=S(t), где t ‒ время, S ‒ координата точки на оси.
Физический смысл производной заключается в следующем: Производная – это мгновенная скорость изменения функции.
Vмгн=S'(t).
Правила вычисления производной.
1. .
Док-во:
Дадим x приращение x, . Тогда функция получит приращение y. Отсюда . Так как , то . (C)=0.
Ч.т.д.
2. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных: .
Док-во:
Дадим x приращение x, . Тогда функция получит приращение . Отсюда = = .
= = .
Ч.т.д.
3. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная произведения находится по формуле: .
Доказывается аналогично второму.
Следствие: Константу можно выносить за знак произведения: .
4. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная частного находится по формуле: , где v0.
Таблица простейших производных.
Степенные функции |
|||
|
|
|
|
Показательные функции |
Логарифмические функции |
||
|
|
|
|
Тригонометрические функции |
|||
|
|
|
|
Обратные тригонометрические функции |
|||
|
|
|
|