Сходящиеся и ограниченные последовательности.

Определение: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел.

- число.

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Определение: Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что для всех членов последовательности x_n M.

Определение: Последовательность {x_n} называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что для всех членов x_nm.

Определение: Последовательность называется ограниченной, если она ограниченна сверху и снизу, т.е.  число A>0 такое, что для всех членов последовательности |x_n|A.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними.

Определение: Последовательность {x_n} называется бесконечно малой, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N, зависящий от , начиная с которого выполняется неравенство |x_n|<e.

.

Определение: Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, для любого, сколь угодно большого, положительного числа А, найдется номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство |x_n|>A.

.

Теорема: Бесконечно малые (б/м) и бесконечно большие (б/б) последовательности взаимообратные.

Док-во:

1) б/б есть обратная величина для б/м.

Пусть {x_n} – б/м при n®¥. По определению: " >0 $N: "n>N Þ |x_n|<e.

Перейдем к обратным величинам: . Обозначим . Если e – б/м, то А – б/б. Тогда , что означает из определения, что – б/б.

2) б/м есть обратная величина для б/б.

Пусть {x_n} ‒ б/б при n®¥. По определению: "A>0 $N: "n>N Þ |x_n| > A.

Перейдем к обратным величинам: . Обозначим . Если А – б/б, то e – б/м. Тогда , что означает из определения, что ‒ б/м.

Ч.т.д.

Свойства сходящихся последовательностей.

1. Единственность.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. Арифметические действия.

Теорема: Если последовательности {x_n} и {y_n} сходящиеся, причем и , тогда ; ; при условии .

3. Необходимое условие сходимости.

Теорема Больцано-Вейерштрасса:

Сходящаяся последовательность ограничена.

Док-во:

Пусть последовательность {х_n} сходится Þ существует конечный предел Þ по определению: для  > 0  номер N, начиная с которого .

Из неравенства: .

Выберем С=max { }.

Значит, для членов последовательности {x_n} выполняется неравенство . Тогда по определению последовательность {x_n} ограничена.

Ч.т.д.

4. Достаточные условия существования предела.

Определение: Последовательность {x_n} называется возрастающей (неубывающей), если x₁<x₂<… (x₁x₂…).

Пример: 1<2<3<4<…, {x_n} – возрастает.

11<22<33…, {x_n} - неубывающая.

Определение: Последовательность {x_n} называется убывающей (невозрастающей), если x₁>x₂>… (x₁x₂…).

Пример: 1>1/2>1/4>…, {x_n} – убывающая.

11/21/2>1/31/3>…, {x_n} - невозрастает.

Теорема1: Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.

Теорема2: Если последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.

Док-во:

Докажем теорему 1.

{x_n} возрастет Þ x₁<x₂<….

{x_n} ограничена сверху Þ существует число М такое, что при "n x_n М. Отступим от М на , тогда существует номер N, начиная с которого

М-< x_n М.

x_n

М

М-

0 1 2 3 4 n

Усилим правую часть неравенства:

М-< x_n<М+, т.е. .

Значит, для  > 0  номер N, начиная с которого справедливо

. Þ . Þ по определению: {x_n} сходится.

Теорема 2 доказывается аналогично.

Ч.т.д.