- •Понятие функции, способы задания функции.
- •Основные характеристики функции.
- •Основные элементарные функции.
- •Последовательность. Предел последовательности.
- •Сходящиеся и ограниченные последовательности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними.
- •Свойства сходящихся последовательностей.
- •Предел функции.
- •Единственность предела функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Иx свойства.
- •Необходимое и достаточное условие существования предела функции. Теорема о представлении функции, имеющей предел:
- •Арифметические операции с пределами.
- •Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
- •Первый замечательный предел.
- •Второй замечательный предел.
- •Следствия из второго замечательного предела.
- •Сравнение бесконечно малых.
- •Непрерывность функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Теоремы о непрерывных функциях.
- •Производная функции одной переменной.
- •Связь между непрерывностью функции и существованием производной.
- •Геометрический и физический смысл производной. Геометрический смысл производной.
- •Правила вычисления производной.
- •Производные тригонометрических функций.
- •Производные обратных тригонометрических функций.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •Логарифмическое дифференцирование. Производная степенной функции.
- •Дифференциал, его геометрический смысл, правила вычисления.
- •Геометрический смысл дифференциала.
- •Применение дифференциала.
- •Производные высших порядков. Производная высших порядков.
- •Механический смысл второй производной.
- •Уравнение касательной и нормали к кривой.
Второй замечательный предел.
Доказательство:
Вспомним число как предел числовой последовательности:
I случай.
Пусть х>1, возьмем n=[x] – целая часть числа х.
n х<n+1.
Перейдем к обратному выражению:
Возведем в степень:
Вычислим предел левой и правой части двойного неравенства:
По теореме «о двух милиционерах»:
II случай.
Пусть х<-1: проведем аналогичные рассуждения и сделаем замену –х=y, получим:
.
Ч.т.д.
Второй замечательный предел для функций:
Пример:
1) =
2) =
Следствия из второго замечательного предела.
1.
Док-во:
Ч.т.д.
2.
Частный случай:
3.
Сравнение бесконечно малых.
Рассмотрим отношение двух б/м (x) и (x), т.е. (x) и (x) ®0 при xx0.
Определение: Если , тогда б/м a(x) и b(x) называются б/м одного порядка малости.
Определение: Если , тогда б/м a(x) и b(x) называются эквивалентными.
Обозначаются: a(x)~ b(x).
Определение: Если , тогда б/м (x) имеет порядок малости выше, чем б/м (x).
Определение: Если , тогда б/м (x) имеет порядок малости выше, чем б/м (x).
Теорема: Если при x®x0 б/м a(x)~ a*(x), а б/м b(x)~ b*(x), то ; .
Тогда при x®x0 и a(x) ‒ б/м справедливо:
sina(x)~ a(x); ea(x)-1~a(x); ln(1+a(x))~ a(x); aa(x)-1~a(x)·lna;
tga(x)~ a(x); arcsina(x)~ a(x); arctga(x)~ a(x); (1+a(x))a-1~a·a(x).
Непрерывность функции.
Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности.
Определение 1: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и .
x=x-x0 – приращение аргумента, y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0) – приращение функции.
Определение 2: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если б/м приращению аргумента соответствует б/м приращение функции, т.е. .
Определение 3: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке, оба односторонних предела существуют, конечны, равны между собой и равны значению функции в этой точке, т.е. .
Определение: Функция y=f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Свойства непрерывных функций.
1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией.
Док-во:
Докажем непрерывность суммы непрерывных функций.
Пусть f(x) и φ(x) непрерывны.
По первому определению непрерывности: , .
Рассмотрим
по первому определению сумма непрерывна в точке х0.
Непрерывность произведения и частного непрерывных функций доказывается аналогично.
Ч.т.д.
2. У непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами.
Если f(x) ‒ непрерывная функция, то .
Док-во: По первому определению непрерывности
.
Ч.т.д.
3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения. y=xn, y=sin x, y=ex,…
Док-во:
а) y=const.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
Тогда функция получит приращение:
.
, т.к. .
По второму определению непрерывности y=const непрерывна в своей области определения.
б) y=x.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
.
По второму определению непрерывности:
.
y=x непрерывна в своей области определения.
в) y=sinx.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
По второму определению непрерывности:
0 cosx
как произведение б/м на ограниченную функцию. y=sinx непрерывна при .
Ч.т.д.
4. Пусть функция x=x(t) непрерывна в точке t0. Пусть функция y=y(x) непрерывна в точке x0, где x0=x(t0) . Тогда сложная функция y=y(x(t)) непрерывна в точке t0.
Док-во:
Тогда по первому определению сложная функция непрерывна в точке х0.
Ч.т.д.