- •Понятие функции, способы задания функции.
- •Основные характеристики функции.
- •Основные элементарные функции.
- •Последовательность. Предел последовательности.
- •Сходящиеся и ограниченные последовательности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними.
- •Свойства сходящихся последовательностей.
- •Предел функции.
- •Единственность предела функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Иx свойства.
- •Необходимое и достаточное условие существования предела функции. Теорема о представлении функции, имеющей предел:
- •Арифметические операции с пределами.
- •Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
- •Первый замечательный предел.
- •Второй замечательный предел.
- •Следствия из второго замечательного предела.
- •Сравнение бесконечно малых.
- •Непрерывность функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Теоремы о непрерывных функциях.
- •Производная функции одной переменной.
- •Связь между непрерывностью функции и существованием производной.
- •Геометрический и физический смысл производной. Геометрический смысл производной.
- •Правила вычисления производной.
- •Производные тригонометрических функций.
- •Производные обратных тригонометрических функций.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •Логарифмическое дифференцирование. Производная степенной функции.
- •Дифференциал, его геометрический смысл, правила вычисления.
- •Геометрический смысл дифференциала.
- •Применение дифференциала.
- •Производные высших порядков. Производная высших порядков.
- •Механический смысл второй производной.
- •Уравнение касательной и нормали к кривой.
Необходимое и достаточное условие существования предела функции. Теорема о представлении функции, имеющей предел:
Для того чтобы число А было пределом функции f(x) при xx0 , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки x0 f(x) была представима следующим образом: f(x)=A+(x), где (x) – б/м при .
Док-во:
Необходимость. Пусть
из |x-x0| < следует неравенство |f(x)-A| < .
Это неравенство означает, что f(x)–A=(x) ‒ б/м при xx0 (по определению б/м). Отсюда f(x)=A + (x).
Достаточность. В некоторой окрестности точки x0 функция представима в виде: f(x) = A+(x), где (x) – б/м при xx0. (x)=f(x)–A – б/м, то есть по определению: из неравенства |x-x0| < |f(x) – A|< .
Последнее неравенство означает, что .
Ч.т.д.
Арифметические операции с пределами.
Теорема 1: Пусть , а , тогда
Док-во: По теореме о представлении функций, имеющих предел: f(x)=A+(x), где (x) – б/м при x®x0, а (x)=B+(x), где (x) ‒ б/м при xx0.
, как сумма двух б/м.
Ч.т.д.
Теорема 2: Пусть , а , тогда .
Док-во: По теореме о представлении функций, имеющих предел: f(x)=A+a(x), где a(x) – б/м при x®x0, а j (x)=B+b(x), где b(x) ‒ б/м при x®x0.
f(x)· (x)= (A(x))·(B+(x))=A·B+A·(x)+ (x)·B+ (x)·(x)=A·B, так как A·(x) и (x)·B и (x)·(x) стремятся к нулю при xx0 по свойствам б/м. Переходя к пределу при xx0 получаем требуемое.
Ч.т.д.
Теорема 3: Пусть , а , тогда , где B0.
Доказывается теорема аналогично теоремам 1 и 2.
Следствие: , где C-const.
Неопределенности. Если не применимы основные теоремы о пределах, свойства б/м и б/б, то возникают неопределенности вида: , · 0), (0), ().
Рассмотрим три вида неопределенности: , (), .
Пример. Вычислить пределы.
1) = =
2)
3)
от неопределенности избавимся следующим образом: разложим числитель и знаменатель на множители и сократим.
4)
чтобы избавиться от иррациональности, надо умножить и поделить на сопряженное выражение.
Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
Теорема 1. Теорема о «двух милиционерах».
Пусть заданы 3 функции f(x), j(x), g(x) такие, что f(x)£j(x)£g(x). Тогда если
Док-во: Вычтем А из всех частей неравенства f(x)£j(x)£g(x):
f(x)-A£j(x)-A£g(x)-A.
По теореме о представлении функции, имеющей предел: f(x)=A+a(x), g(x)=A+b(x), где a(x) и b(x) являются б/м. Между двумя б/м может находиться только б/м Þ по теореме о представлении функции, имеющей предел: .
Ч.т.д.
Теорема 2: Пусть функция f(x)³0 и существует конечный предел . Тогда A³0.
Док-во: Предположим противное: A<0. Тогда окрестность точки A лежит по оси ОY ниже начала координат. Þ В этой окрестности f(x)<0, чего быть не может.
Ч.т.д.
Т еорема 3: Если f(x)³g(x) и
Док-во: Из неравенства f(x)³g(x) Þ f(x)-g(x)³0. По предыдущей теореме и арифметическим операциям Þ A³B.
Ч.т.д.
Первый замечательный предел.
Доказательство:
Рассмотрим единичную окружность и отложим бесконечно малый угол x.
П усть т.е. принадлежит 1 четверти.
Очевидны следующие неравенства:
Вернемся к неравенствам:
Перейдем к обратным выражениям:
Левая часть неравенства 1 1, т.к.
Правая часть неравенства
По теореме «о двух милиционерах»:
Аналогично при х<0:
Вместо x может быть любая б/м при х х0, тогда
Ч.т.д.
Пример:
1)
2)
3)