23. Ряд его сходимость. Пример.
если p>1
то ряд будет сходится, если p
1
то ряд расходится
Следует отметить,
что при p<1
расходимость ряда следует из признака
сравнения, тк в этом случае члены ряда
больше соответствующих членов
гармонического ряда
,
а в частном случае при p=2
сходимость ряда может быть доказана
сравнением этого ряда со сходящимся.
Пример:
определить сходимость ряда
Сравним этот ряд
с рядом
,
p=2>1,
=> ряд сходится
24.Необходимый признак сходимости ряда.
Теорема:
если ряд сходится, то предел его n-члена
при
равен
нулю.
Док-во: un можем найти из Sn-Sn-1
un=
Sn-Sn-1
, т к по
условию ряд сходится, то
,
,
Пример:
исследовать на сходимость ряд
,
необходимый признак не выполняется, =>
ряд расходится.
25. Признак сравнения для определения сходимости знакоположительных рядов. Пример.
Пусть даны 2 ряда
с положительными членами:
(1)
и
(2)
причем
, тогда
а)если сходится ряд с большими членами, то и с меньшими будет сходиться
б)если расходится ряд с меньшими членами, то и с большими будет расходиться
Часто для сравнения используют ряды-эталоны, сходимость которых наперед известна:
1)
- гармонический ряд – всегда расходится
2)
, если
- ряд расходится, p>1
– ряд сходится
3)
, если
- ряд расходится,
<1
– ряд сходится
Пример:исследовать
сходимость ряда :
Сравним данный ряд
со сходящимся геометрическим рядом
(его знаменатель
<1).
Тк члены данного ряда, начиная со второго,
меньше членов сходящегося геометрического
ряда (
<
,
<
и вообще
<
),
то на основании признака сравнения ряд
сходится.
26. Признак Даламбера. Пример.
Пользуемся им, когда есть факториалы и показательные функции (5n , 2n …).
- дан ряд с положительными членами.
Пусть для него
существует предел отношения un+1
члена к un.
Если L<1- ряд сходится
Если L>1, расходится
L=1- вопрос не решен, нужно выбирать другой признак для решения.
При решении признаком Даламбера можно не применять необходимый признак сходимости.
Пример:
Исследовать на сходимость ряд.
1.Проверим необходимый
признак
2.
;
,
=> ряд сходится.
27. Интегральный признак Коши сходимости для знакоположительных рядов. Пример.
Пусть дан ряд un,
члены которого положительны и не
возрастают, т е u1
u2
u3
…, а функция f(x)
определена при х
1,
непрерывна и не возрастает.
f(1)=u1 , f(2)=u2 и т д
тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл от этой функции f(x).
(
)
Пример:
исследовать ряд на сходимость:
.
Проверим необходимый
признак:
Проверим достаточным
признаком:
интеграл существует, => ряд сходится
28. Знакопеременные ряды, их абсолютная и условная сходимость. Пример.
Если члены ряда имеют произвольные знаки, он является знакопеременным.
u1+u2+…+un+…, где любой член un может быть как положительным, так и отрицательным.
Достаточный
признак сходимости знакопеременного
ряда: если
ряд, составленный из абсолютных величин
членов данного ряда сходится, то сходится
и данный ряд.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.
Пример: исследовать
сходимость ряда:
Общий
вид ряда:
Составим ряд из
модулей:
- знакоположительный ряд.
1)Проверяем
необходимый признак:
2)проверяем
достаточный признак: сравним с рядом
,
p=2>1,
=> ряд сходится.
Ответ: знакопеременный ряд сходится абсолютно.