9. Интегрирование тригонометрических функций. Примеры.

Общий случай, когда интеграл вида берется с помощью универсальной подстановки: tg , x=2arctgt , Sinx= , Cosx= , dx=

Рассмотрим частные случаи интегрирования тригоном.функций, не требующих применения универсальной подстановки.

Пример:

1 случай.

1- ;

2-

Интегралы такого вида берутся методом замены переменной: U=Sinx – 1 случай, U=Cosx – 2 случай.

Пример:

U=3Sinx+1 , du=3Cosxdx , dx=

2 случай.

Интеграл имеет вид . Если:

а) степень четная: ,

б) степень нечетная, то вначале мы отделим одну степень.

Пример:

,

Если под знаком интеграла встречается и четная и нечетная степень, приоритетом будут обладать формулы для нечетных степеней.

3 случай.

а) m – четная, решать будем с помощью подстановки tgx=t, x=arctgt,

Пример:

t=tgx, x=arctgtdx,

б) m – нечетная, то

Неберущиеся интегралы: ; ;

10.Интегрирование некоторых иррациональных функций. Примеры.

Интегралы вида берутся подстановкой , где k – наименьшее общее кратное чисел m и n. С помощью этой подстановки сразу же избавляемся от иррациональности.

Пример:

= 11. Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие опред. интеграла.

Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная функция y=f(x). Нужно найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми х=а, х=b и осью абсцисс у=0.

y =f(x) ломаная

S Sл

0 a b x 0 a b x

Введем в рассмотрение некоторую ломаную, котороая расположена достаточно близко к кривой y=f(x) на [a,b]. (рис.2) Фигура под ломаной состоит из трапеций, и ее площадь Sл(равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство S≈Sл. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближении\ ломаной к заданной кривой.

Пусть задана функция f(x) – непрерывна на отрезке [a,b]. F(x) – некоторая ее первообразная. F’(x)=f(x). Под определенным интегралом от данной непрерывной функции понимают соответствующее приращение ее первообразных на отрезке от [a,b].

- формула Ньютона-Лейбница. =

а и b – верхний и нижний предел интегрирования.

= F(x) | (b –верхний предел, а – нижний предел)

12. Свойства определенного интеграла.

1) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е

, где α – некоторое число.

2) Интеграл от алгебраической сумы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е

3) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е при любых a, b,c:

4) Если на отрезке [a,b], где a<b, f(x)≤g(x), то и

,т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

5) Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], (где а<b), то найдется такое значение ζ€[a,b], что

13. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Пример.

Пусть задана функция f(x) непрерывная на отрезке [a;b] , F(x)-ее первообразная F`(x`)=f(x)

Под определенным интегралом от данной непрерывной функции понимают соответствующие приращения ее первообразных на [a,b].

Это формула Ньютона –Лейбница, здесь числа а и b наименьший и верхний предел интегрирования, F(b)-F(a)-приращ-е первообразных.

Пример. Вычислить значение определенного интеграла

Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке [1; 3], следовательно, интегрируема на нем. Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для ) записывается как . Возьмем первообразную при C = 0: . Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: 14. Методы подстановки и по частям для вычисления определённого интеграла.

Метод подстановки.

Метод основан на применении следующего равенства Применяется тогда, когда в подынтегральном выражении можно выделить функцию

и тут же ее дифференциал, возможно с поправкой на какой-то числовой коэффициент. Тогда заменим на и перейдем к табличному интегралу. После нахождения табличного интеграла, подставляем значения промежутка, на котором определен интеграл в получившуюся функцию и переходим к формуле Ньютона-Лейбница: сначала верхнее значение, из него вычитаем нижнее значение.

Пример: найти определенный интеграл.

U=3x

du=3dx

dx=du/3

Метод по частям.

Применяется, когда в подынтегральном выражении можно выделить некоторую функцию U и тут же дифференциал другой функции dv, чтобы после дифференцирования первой и интегрирования второй функции получить более простой интеграл, чем исходный. После нахождения простого интеграла, так же как и в первом методе переходим к черте со значениями промежутка и к формуле Ньютона-Лейбница.