15. Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения. Пример.
1. Объем тела,
образованного вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции А1АВВ1,
где АВ - дуга кривой y=f(x),
определяется формулой:
Дифференциал
переменного объема dV=
2. Объем тела,
образованного вращением оси Оу
криволинейной трапеции, прилежащей к
оси Оу, определяется формулой:
Дифференциал
переменного объема dV=
Пример: определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: xy=4, x=1, x=4, y=0, вокруг оси Ох.
;
y=
- гипербола
V=
(ед3)
16. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Пример.
Рассмотрим случай, когда криволинейная трапеция ограничена двумя прямыми
f1 (x) и f 2(x)
В этом случае найдем
площадь по формуле:
f1(x)
f2(x)
Если кривая будет расположена ниже оси х, площадь возьмем со знаком -
Пример.
Найти площадь функции, ограниченную линиями у=3х и у2=9х
У2=9х2
9х2=9х
9х(х-1)=0
Х=0 х=1
( кв.
ед)
17. Понятие дифференциального уравнения. Порядок, общее и частное решение. Начальные условия. Пример. Дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными и их решение. Примеры.
При изучении физических, технических или экономических процессов часто приходится сталкиваться с выявлением функциональной зависимости между переменными величинами этого процесса.
В большинстве случаев эта зависимость сводится к составлению уравнения, содержащего аргумент или аргументы, функцию этого аргумента и производные или дифференциалы различных порядков, такие уравнения называются дифференциальными.
Мы будем рассматривать только дифференциальные уравнения, искомая функция в которых (y) зависит от одного аргумента.
Такие уравнения называются обыкновенными. В общем виде обыкновенные уравнения выглядят F(x,y,y’,y”)=0.
Решить дифференциальное уравнение значит найти функцию, удовлетворяющую этому уравнению, т е подстановка данной функции в уравнение обращает его в верное тождество.
Дифференциальные уравнение бывают различных порядков. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение определит его порядок.
В общем случае
решение дифференциального уравнения
находится последовательным интегрированием.
Дифференциальное уравнение n-го
порядка содержит n
произвольных постоянных. Такое решение
уравнения называется общим
решением или
общим интегралом. Записывается оно в
виде: y=
.
Чтобы из общего решения выделить частное решение, нужно для определенного конкретного значения произвольных постоянных задать начальное условие. Количество начальных условий как и количество произвольных постоянных совпадает с порядком дифференциального уравнения.
Для дифференциального уравнения n-порядка должно быть задано n начальных условий.
y=y0 y’=y0’ y”=y0”
при x=x0
простейшим дифференциальным уравнением является дифференциальное уравнение 1-го порядка. В общем виде: F(x,y,y’)=0.
Его общее решение
или интеграл имеет вид: y=
.
Для получения частного решения задается одно начальное условие: y=y0, при x=x0
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Общий вид такого уравнения выглядит:
.
(1)
Запишем производную
y’
в виде
и подставим в (1).
Найдем
от обеих частей неопределенный интеграл.
Пример:
y’=4xy
;
- общий интеграл
Общее решение:
Частное решение: y=1 при x=0
0=0+C, C=0
-
частное решение.