6.Свойства неопределенного интеграла:

1. найдем производную

2. найдем d

3. 

4. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

5. Интеграл от суммы равен сумме интегралов

6. Если , то справедливо свойство инвариантности, то ,где U=U(x)

Интеграл не меняет своей формы при переходе от простого аргумента к сложному.

7.Интегрирование заменой переменной и по частям для неопределенных интегралов. Пример Интегрирование методом замены переменной: Метод основан на применении след равенства: f (φ(x))* φ'(x)dx= f(u)du Применяется когда под интегральным выражением можно выделить функцию φ(x) и тут же ее дифференциал, возможно с поправкой на какой-то числовой коэффициент. Тогда можно функцию φ(x) заменить на новую переменную u и перейти к табличному интегралу. Пример. cos3xdx= cosu*(du/3)=(1/3)sin3x+C u=3x du=3*dx dx=du/3 Метод интегрирования по частям основан на след.формуле: u*dv=u*v- vdu Применяется когда под интегральном выражении можно выделить некоторую фун-ю u и тут же диффиринциал другой фу-ции dv, чтобы после дифференцирования 1-ой и интегрирования 2-ой ф-ции получить более простой интеграл, чем исходный.

Типичны 2 случая: 1) xⁿ*Cosx, e^x, Sinx dx, здесь xⁿ=u, Cosx, e^x, Sinx dx=dv 2) arcSinx, lnx, arctgx*xⁿ dx, здесь arcSinx, lnx, arctgx= u, xⁿ=dv

Пример x*cosxdx=x*sinx- sinx dx=x*sinx+cosx+C u=x dv=cosxdx du=dx v= dv= cosxdx=sinx

8.Интегрирование рациональных дробей. Пример. Рациональная дробь-это дробь числитель и знаминатель кот. есть многочлены. Многочленом степени n называют выражение вида a+a₁x¹+a₂x²+a_nxⁿ где а₁ а₂ а₃-действительные числа аⁿ ≠0, n ≥0 Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена меньше степени знаменателя. Мы будем интегрировать только правильные дроби, т.к из любой неправильной можно выделить целую часть разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен Рассмотрим подробнее некоторые случаи правильных рациональных дробей. Обозначим простейшими след. рациональные дроби 1-ый тип: 2-ой тип 3-ий тип Рассмотрим 1-ый случай. Раскладываем знаменатель дроби на произведение нескольких различных сомножителей вида ax+b , в этом случае дробь будет представлена в виде суммы стольких простейших дробей 1-ого типа, сколько сомножителей содержит знаменатель данной дроби.

Пример. (x+2)/x(x²-5x+6)dx= 1/3*dx/x- 2* (dx/x-2) + 5/3 (dx/x-3)= 1/3 ln|x|-2ln|x-2|+5/3ln|x-3|+C (x+2)/x(x-2)(x-3)=A/x+B/(x-2)+C/(x-3)= A(x-2)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x-2)/x(x-2)(x-3)=x+2=A(x-2)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x-2) пусть x=2 4=-2B B=-2 x=3 5=3c c=5/3 x=0 2=6A A=1/3 Рассмотрим 2 случай . Знаменатель дроби раскладывается на произведение множителей вида ax+b но причем некоторые из них могут повторяться. В этом случае дробь представлена в виде суммы простейших дробей 1-ого и 2-ого типов, знаменатели которых есть множители знаменателя исходной дроби Пример. dx/x(x-2)²= 1/4 dx/x- 1/4 dx/(x-2) + 1/2dx/(x-2)²=1/4 ln|x|-1/4 ln|x-2|+1/2 X-2)^-2+1/(-2+1)+C 1/x(x-2)²=A/x+B/(x-2)+C(x-2) ²=A(x-2) ²+Bx(x-2)+Cx/x(x-2) ² 1=A(x-2) ²+Bx(x-2)+Cx пусть x=2 1=2C C=1/2 x=0 1=4A A=1/4 x=1 1=A-B+c 1/4-B+1/2 B=A+C+1= 1/4+1/2-1= -1/4 Рассмотрим 3-ий случай . Знаменатель исходной дроби входят кроме других множители квадратных трехчленов у которых дискриминант <0 тогда вся дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей всех 3-х типов.