3. Частные производные высших порядков, функции нескольких переменных. Пример.

Частные производные высших порядков

Имеем функцию z=f(х;у)

Её частные производные ðz/ðу и ðz/ðх

Частные производные второго порядка ð²z/ðx²=z”_xx ð²z/ðy²=z”_yy

Также существуют смешанные частные производные, когда в 1-й раз берём производную по х, а второй раз по у.

ð²z/ðxðу или ð²z/ðуðх Теорема: Если все входящие частные производные, рассматриваемые как функции независимых переменных, непрерывны, то результат частного дифференцирования не зависит от последовательности дифференцирования. ð²z/ðxðу = ð²z/ðуðх - только для непрерывных функций.

Пример: Найти частные производные 2-го порядка для ф-ии z=y²sinx

1. ðz/ðx= y²cosx ð²z/ðxðу=cosx2y

2. ðz/ðy=sinx2y ð²z/ðyðx=2ycosx

Функции нескольких переменных

Функция двух переменных – переменная z, зависящая от изменения 2-х независимых переменных х и у и записывается в виде z=f(x;y) х, y – аргументы, а Z – ф-я нескольких переменных.

Для ф-ии также находится OD (область определения)

Рассмотрим ф-ю U=f(x,y,z). Большинство свойств для ф-ии 2- переменных могут быть применимы и к ней.

OD ф-ии 2-х переменных – подмножество координатной плоскости OXY. Окрестностью т. М₀ (х₀;у₀) называется круг, содержащий т. М₀

График ф-ии 2-х переменных представляет собой некоторую поверхность в трёхмерном пространстве. Для упрощения построения удобнее рассматривать ф-ии одной переменной. z=f(x₀;y) – ф-ия от у z=f(x;y₀) – ф-я от х, где х₀; у₀ – постоянные числа, заданные заранее. Важным инструментом для определения поведения ф-ии является линия уровня – это множество точек плоскости, таких, что во всех этих точках значение ф-ии одно и то же и равно С. С – уровень. Пример: S=1/2 ху; V=xyz

4. Комплексные числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Комплексное число – это выражение вида: z=x=iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица. i²= -1 i=

Если х=0, то число Z=iy является мнимым, а если у=о, то z=х это обычное действительное число, а значит множество R всех действительных чисел является подмножеством множества Z всех комплексных чисел. Х – действительная часть компл. Числа, а у – мнимая.

1. Два компл. Числа z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂ называются равными, когда равны их действительная и мнимая части соответственно, т.е. x₁=x₂ и y₁=y₂

2. Два компл числа называются сопряженными, когда они отличаются знаком мнимой части, т.е. z₁=x+iy z₂=x-iy

Формы записи комплексного числа:

1. z=x=iy – алгебраическая запись

2. Z=δcosφ+i*δsinφ - тригонометрическая запись

3. Z=δ*e^iφ

Действия над комплексными числами:

1. Сумма z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂)

2. Разность z₁-z₂=(x₁-x₂)+i(y₁-y₂)

3. Произведение z₁z₂=(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+y₁x₂)

Отсюда следует i²= = -1

I³=i*i²=-i

I⁴=i²*i²=1

I⁵=i²*i³=-i(-1)=i

4. Деление z=z₁/z₂=( x₁x₂-y₁y₂/x₂²+y₂²)+( i(x₁y₂+y₁x₂)/ x₂²+y₂²)

5.Понятие первообразной для данной функции и неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

Мы изучали нахождение производной для данной функции, сейчас будем решать обратную задачу: по производной найдем саму функцию.

Пусть задана производная f(x)=2x F(x)=x²

Тогда F(x) называется первообразной для f(x) на [а;в] если для всех точек этого отрезка выполняется

Теорема: две первообразные одной и той же функции F₁(x) F₂(x) отличается только на постоянную величину.

Ф(x)=F₂(x)-F₁(x)

Найдем производные

Если F(x) первообразная функции f(x),то все первообразные для f(x) имеют вид F(x)+c, а множество всех первообразных F(x)+c для f(x) называются неопределенным интегралом.

Выражение f(x)dx- под интегральное выражение

f(x)-это под интегральная функция.

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием.