13.Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом Фурье

Решим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге.

Найти функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа    в круге радиуса 

и на границе круга равную заданной функции  .

Задачу естественно формулировать и решать в полярных координатах:

,

,  .

Будем решать задачу методом разделения переменных, т.е. будем искать решение задачи в виде

.

Из уравнения

 

Получаем  пару уравнений

,

Здесь и в дальнейшем неравенства   означают, что функции   и   не равны нулю тождественно.

Таким образом, исходная краевая задача сведена к двум граничным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

 и  .

Вторая задача имеет решение только при   и это решение

,  ,

а общее решение уравнения

при   –  ,

при   –  ,

ограниченные при   решения получаем при  ,  –

Решение исходной задачи

, 

будем искать в виде  , а неизвестные коэффициенты вычисляем из граничного условия  .

Последнее равенство – ряд Фурье для функции  , коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам

.

Итог.

Решение   задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге,

,  ,  , ,

,

.

Задача 1. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса 2, на границе которого функция равна 3 .

В полярных координатах задача записывается в виде

.

Её решение, ищем в виде,  при условии  ,

откуда   

и решение задачи  имеет вид  .

В декартовых координатах решение записывается в виде

, его график – седло.

Аналогично можно найти решение задачи Дирихле в кольце:  ,

,  ,  .

Имеем:

, а неизвестные коэффициенты вычисляем как коэффициенты Эйлера-Фурье соответствующих граничных функций.

Задача 2. Найти ёмкость цилиндрического конденсатора, рассчитанную на единицу длины.

Пусть радиус внешней обкладки конденсатора равен  , а плотность заряда на ней равна  , радиус и заряд внутренней, соответственно  и  .

Поскольку требуется найти ёмкость конденсатора, рассчитанную на единицу длины, задача сводится к решению задачи о вычислении потенциала плоского электростатического поля в кольце:

.

Поскольку граничные условия не зависят от  , решение задачи должно обладать цилиндрической симметрией и его можно искать в виде  :

,  ,  ,

,  ,  ,  ,

,

,  ,  .

Теперь, по формуле  , где  – потенциал проводника,  , можно вычислить ёмкость конденсатора,  .

14.Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события.

1. Основные формулы комбинаторики

а) перестановки  .

б) размещения 

в) сочетания  .

2. Классическое определение вероятности.

, где   - число благоприятствующих событию   исходов,   - число всех элементарных равновозможных исходов.

3. Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

4. Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

,

 - условная вероятность события   при условии, что произошло событие  ,

 - условная вероятность события   при условии, что произошло событие  .

5. Формула полной вероятности

, где   - полная группа гипотез, то есть  ,   - достоверное событие.

6. Формула Байеса (формула Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

, где   - полная группа гипотез.

7. Формула Бернулли

 - вероятность появления события ровно   раз при   независимых испытаниях,   - вероятность появления события при одном испытании.

8. Наивероятнейшее число наступления события.

Наивероятнейшее число   появления события при   независимых испытаниях:

,   - вероятность появления события при одном испытании.

9. Локальная формула Лапласа

- вероятность появления события ровно   раз при  независимых испытаниях,   - вероятность появления события при одном испытании,  .

10. Интегральная формула Лапласа

- вероятность появления события не менее m₁ и не более m₂ раз при   независимых испытаниях,   - вероятность появления события при одном испытании,  .

11. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности  :

.