28.Дисперсия, средневековое отклонение, моменты дискретной случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается   в русской литературе и  (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение   или  . Квадратный корень из дисперсии, равный  , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

Определение

Пусть   — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ   обозначает математическое ожидание^[1][2].

Замечания

• Если случайная величина   вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;

• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.

• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов  :

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: 

• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;

• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю:   Верно и обратное: если   то   почти всюду;

• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

, где   — их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

, где  ;

• В частности,   для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;

• 

• 

• 

Пример

Пусть случайная величина   имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на   то есть её плотность вероятности задана равенством

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

и математическое ожидание случайной величины

Тогда дисперсия случайной величины

29.Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотности вероятности

Функцией распределения вероятностей называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, то есть:

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения вероятностей есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства функции распределения вероятностей случайной величины

1. Значения функции распределения вероятностей принадлежат отрезку :

2. Функция распределения вероятностей – неубывающая функция, то есть:

, если .

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

;

.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения вероятностей F(x):

Таким образом, функция распределения вероятностей является первообразной для плотности распределения вероятностей.

Свойства плотности распределения вероятностей

1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция:

2. Несобственный интеграл от плотности распределения вероятностей в пределах от -∞ до +∞ равен единице: