30.Теорема о связи функции распределения с плотностью вроятности

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах:

.

Следовательно, зная плотность распределения вероятности , можно найти функцию распределения по формуле

31.Интегральный закон распределения. Интегральная кривая

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x случайной величины X вероятность того, что величина X примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x. Интегральная функция распределения имеет следующие свойства.

Рис – Интегральная кривая

32.Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные непрерывной случайной величины X принадлежат отрезку [a,b], то

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то

Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называют, как и для величины дискретной, квадратный корень из дисперсии:

33.Медиана и мода

Мода – величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле:

где х₀ – нижняя граница интервала; h – величина интервала;

f m частота интервала;f m-1 частота предшествующего интервала;

f m+1 частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой – больше.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности.

Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле:

где х 0 нижняя граница интервала; h – величина интервала; f m частота интервала; f – число членов ряда; S m-1 – сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

34.Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна

,

где m - математическое ожидание случайной величины;

σ² - дисперсия случайной величины, характеристика рассеяния значений случайной величины около математического ожидания.

Условием возникновения нормального распределения являются формирование признака как суммы большого числа взаимно независимых слагаемых, ни одно из которых не характеризуется исключительно большой по сравнению с другими дисперсиями.

Нормальное распределение является предельным, к нему приближаются другие распределения.

Математическое ожидание случайной величины Х. распределено по нормальному закону, равно

m_x = m, а дисперсия D_x = σ².

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервале(α, β) выражается формулой

где  - табулированная функция