44.Статистический ряд и гистограмма

Статистический ряд

Пусть выборка содержит m различных чисел , где и , причём число встречается в выборке раз, . Так бывает либо тогда, когда генеральная совокупность - дискретная случайная величина, либо когда X - непрерывна, но её значения при измерении округляют.

Число называют частотой элемента выборки , а отношение - относительной частотой этого элемента.

Статистическим рядом для данной выборки называют таблицу, которая в первой строке содержит значения выборки (напомним: ), во второй строке – частоты , а в третьей строке – относительные частоты этих значений:

Статистические данные, представленные в виде статистического ряда, называют группированными.

Гистограмма относительных частот

Графическим представлением статистического ряда является гистограмма – график эмпирической плотности распределения генеральной совокупности непрерывного типа.

45.Среднее взвешенное и статистическая дисперсия

Среднее взвешенное, точнее среднее арифметическое взвешенное набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как

В том случае, если все веса равны между собой, среднее арифметическое взвешенное будет равно среднему арифметическому.

Дисперсия (рассеяние), в математической статистике наиболее употребительная мера рассеивания, отклонения случайных значений от среднего.

(1)

где n - число измерений, x_i - единичное значение, - среднее значение.

Достоверность дисперсии определяется числом степеней свободы f. В данном случае (1) f = n-1

Наряду с дисперсией используется стандартное отклонение, которое равно квадратному корню из дисперсии.

Если на результат измерения влияют несколько независимых случайных факторов, то вступает в силу закон сложения дисперсий: дисперсия результата равна сумме "составляющих" дисперсий.

46.Точечные оценки

Определение 1.   Выборка -- последовательность результатов измерений значений случайной величины.

Определение 2.   Статистическая оценка -- приближенное значение вероятностных характеристик законов распределения, полученных на основе статистических или выборочных данных. Точечная статистическая оценка -- статистическая оценка, выражаемая одним числом.

Определение 3.   Статистическая оценка называется несмещенной, если  .

Определение 4.   Точечная оценка называется состоятельной, если  .

Определение 5.   Точечная оценка называется сильно состоятельной, если  .

Определение 6.   Точечная оценка   называется эффективной, если  , где   -- все возможные точечные оценки.

Определение 7.   Точечная оценка называется асимптотически эффективной, если

где   -- все возможные точечные оценки.

Пример: выборочное математическое ожидание.  .

Определение 8.   Пусть   -- оценка параметра  . Мы хотим, чтобы  , т.е. чтобы она была достаточно хорошей, была очень близка к реальному значению в очень большом количестве случаев (95%, 99%). Тогда   -- точность,   -- надежность.

47.Распределение Пуасона

Третье широко используемое дискретное распределение – распределение Пуассона. Случайная величина Y имеет распределение Пуассона, если

,

где λ – параметр распределения Пуассона, и P(Y=y)=0 для всех прочих y (при y=0 обозначено 0! =1). Для распределения Пуассона

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Это распределение названо в честь французского математика С.Д.Пуассона (1781-1840), впервые получившего его в 1837 г. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность росуществления события мала, но число испытаний n велико, причем np = λ. Точнее, справедливо предельное соотношение

Поэтому распределение Пуассона (в старой терминологии «закон распределения») часто называют также «законом редких событий».

Распределение Пуассона возникает в теории потоков событий (см. выше). Доказано, что для простейшего потока с постоянной интенсивностью Λ число событий (вызовов), происшедших за время t, имеет распределение Пуассона с параметром λ = Λt. Следовательно, вероятность того, что за время t не произойдет ни одного события, равна e^-Λt, т.е. функция распределения длины промежутка между событиями является экспоненциальной.

Распределение Пуассона используется при анализе результатов выборочных маркетинговых обследований потребителей, расчете оперативных характеристик планов статистического приемочного контроля в случае малых значений приемочного уровня дефектности, для описания числа разладок статистически управляемого технологического процесса в единицу времени, числа «требований на обслуживание», поступающих в единицу времени в систему массового обслуживания, статистических закономерностей несчастных случаев и редких заболеваний, и т.д.

Описание иных параметрических семейств дискретных распределений и возможности их практического использования рассматриваются в обширной (более миллиона названий статей и книг на десятках языков) литературе по вероятностно-статистическим методам.