40.Приведенная функция Лапласа

41.Правило трех сигм

Преобразуем формулу

Введем обозначение

Тогда получим:

Если t=3, то

т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными.

Cущность правила трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

42.Закон больших чисел. Предельные теоремы

Зако́н больши́х чи́сел в теории вероятностей утверждает, что среднее арифметическое достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения. Различают: слабый закон больших чисел и усиленный закон больших чисел.

Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Пусть есть бесконечная последовательность (последовательное перечисление) одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве . То есть их ковариация . Пусть . Обозначим выборочное среднее первых n членов:

Тогда .

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве . Пусть . Обозначим выборочное среднее первых n членов:

Тогда почти наверное.

43.Задачи математической статистики. Выборка, эмпирическая функция распределения

Математическая статистика – это наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных. Любая наука решает в порядке возрастания сложности и важности следующие задачи:

1. Задача определения закона распределения случайной величины (или системы случайных величин) по статистическим данным

2. Задача проверки правдоподобия гипотез

3. Задача нахождения неизвестных параметров распределения

Выборка (выборочная совокупность) - часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с целью получения информации о всей генеральной совокупности.

Число объектов, составляющих выборочную совокупность, называется объемом выборки.

Кроме объема выборки, существенную роль играет способ формирования выборки. Не вдаваясь в детали, можно отметить, что выборка, которая сохраняет все свойства генеральной совокупности, называется репрезентативной выборкой. Свойство репрезентативности - необходимое условие для того, чтобы выводы, сделанные для выборочной совокупности, можно было распространить на генеральную совокупность.

Эмпирическая функция распределения

Для любого обозначим через число значений выборки , удовлетворяющих неравенству . Эмпирической функцией распределения называется функция

.

О чевидно, при и , кроме того, - кусочно-постоянная функция с разрывами первого рода (скачками величины ) в точках , . Пример графика эмпирической функции распределения показан на рисунке.