15 Вариант

1. Найти для функции

2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:

3. Найти от функций, заданных неявно:

4. Найти от функции

5. Найти и y''_xx от функции, заданной параметрически:

6. Написать уравнение касательной и нормали к гиперболе , в точке с абсциссой .

7. Найти приближенное значение

8. Найти .

9. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке

10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,99, с точностью до 0,001.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) =

12. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна l.

13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:

а) б)

14. Составить уравнения касательной и плоскости к кривой в точке .

15. Дана функция z = Показать, что F =

16. Дана функция z = 3xy + 4y² – 6x и две точки А (4; 5) и В (4,04; 4,95). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С (4; 5; z_A).

17. Дана функция z = , точка А (3; 4) и вектор (-3; 4). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

16 Вариант

1. Найти для функции

2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:

3. Найти от функций, заданных неявно:

4. Найти от функции

5. Найти и y''_xx от функции, заданной параметрически:

6. Составить уравнение касательной и нормали к параболе , в точках, ординаты которых равны 1.

7. Найти приближенное значение

8. Найти .

9. Выполняется ли теорема Ролля для функции на отрезке ? Найти соответствующие значения

10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,61, с точностью до 0,001.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) =

12. Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна S.

13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:

а) б)

14. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к винтовой линии

в точке

15. Дана функция z = Показать, что: F =

16. Дана функция z = 2x² + 2y² + 10x + 8y и две точки А (6; 4) и В (6,05; 3,98). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значениеz₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С (6; 4; z_A).

17. Дана функция z = , точка А(1; -2) и вектор (1; 2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .