27 Вариант
1. Найти
для функции
.
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти от функции
5. Найти и y''xx от функции, заданной параметрически:
6. Написать уравнение касательной и нормали к кривой , в точке с абсциссой x=1.
7. Вычислить
приближенно
8. Найти .
9.
Показать, что теорема Лагранжа на
отрезке
не применима к функции
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,39, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f(x)=2x3-6x; [-1;2].
12. Найти на оси Ох точку, сумма квадратов расстояний которой от точек (2;4) и (8;2) имеет наименьшее значение.
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
.
14. Показать, что векторы
и
перпендикулярны.
15. Найти полную производную сложной функции:
16. Дана функция z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С(x0;y0;z0).
z = 2x2 + 2y2 + 10x + 8y; A (6; 4); B (6,05; 3,98).
17. Дана функция u = f (x; y; z), точка А (x0; y0; z0) и вектор (а1; а2; a3). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
u =
;
А (x0;
y0; z0);
a =6i+3j-6k.
28 Вариант
1. Найти
для функции
.
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти от функции
5. Найти
и y''xx
от функции, заданной параметрически:
6. Написать уравнение касательной и нормали к гиперболе , в точке,
7. Найти приближенное значение
8.
Найти
.
9. Выполняется ли справедливость теоремы Ролля для функции на отрезке . Найти соответствующие значения
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,81, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f(x)=-5x3+6x2+8; [-2;2].
12. Найти наибольшую площадь прямоугольника, имеющего периметр 48 см.
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
.
14. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением в точке t = /2.
15. Найти частные производные сложной функции:
16. Дана функция z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С(x0;y0;z0).
z = 2x2 + 4xy + 6y2 ; A (4; 2); B (3,96; 2,04).
17. Дана функция u = f (x; y; z), точки А (x0; y0; z0) и А1(х1; y1; z1). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
u =
;
A (1; 1; 1); А1
(3; 2; 3).