13 Вариант

1. Найти для функции

2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:

3. Найти от функций, заданных неявно:

4. Найти от функции

5. Найти и y''_xx от функции, заданной параметрически:

6. Составить уравнение и нормали к кривой , в точке .

7. Найти приближенное значение

8. Найти .

9. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции если Найти значение

10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,41, с точностью до 0,001.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) =

12. Какого диаметра надо взять круг, чтобы в него можно было вписать прямоугольник с периметром, равным 40 см, и наибольшей площадью? Чему равна площадь искомого треугольника?

13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:

а) б)

14. Составить уравнения касательной и нормали к полукубической параболе , проведенных в точке, для которой .

15. Дана функция z = . Показать, что F =

16. Дана функция z = 2x² + 2xy + 2y² и две точки А (2; 5) и В (1,95; 5,01). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С (2; 5; z_А).

17. Дана функция z = arctg (xy), точка А (2; 3) и вектор (4; 3). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

14 Вариант

1. Найти для функции

2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:

3. Найти от функций, заданных неявно:

4. Найти от функции

5. Найти и y''_xx от функции, заданной параметрически:

6. Показать, что отрезок касательной к гиперболе , заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

7. Вычислить приближенно

8. Найти .

9. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции , найти соответствующее значение .

1 0. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,73, с точностью до 0,001.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = на отрезке [-4;-1].

12. На чертеже изображено сечение туннеля, имеющего форму прямоугольника, завершенного полукругом. Площадь сечения туннеля S= 375м². Какова должна быть ширина АВ=2х и высота АD = y, чтобы периметр сечения был наименьшим? Найти наименьший периметр сечения туннеля про данной площади.

13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график.

а) б) .

14. Составить уравнения касательной и нормали к линии в точке .

15. Дана функция z = Показать, что F =

16. Дана функция z = y² + 2x² +3x + 4y – 2 и две точки А (3; 4) и В (2,98; 3,91). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (3; 4; z_А).

17. Дана функция z = x³у +xy², точка А (1; 3) и вектор (-5; 12). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .