23 Вариант
1. Найти для функции
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
.
5. Найти
от функции, заданной параметрически:
6. Из точки А(-2;5), не лежащей на
параболе
,
провести касательные к ней.
7. Найти приближенное значение lg11.
8.
Найти
.
9.
Проверить справедливость теоремы
Ролля для функции
на интервале
.
Найти соответствующее значение c.
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,79, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f(x) = -1/3x3+3,5x2-10x-1/3; [-1;7].
12. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна ширине балки и квадрату ее высоты. Из бревна, диаметр которого 30 см, необходимо изготовить балку наибольшей прочности. Определить стороны прямоугольного сечения наибольшей прочности.
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
14. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением
в точке t = /2.
15. Найти полную производную сложной функции:
16. Дана функция z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С(x0;y0;z0).
z = 3x2 + 2y2 + xy; A (-1; 3); B (-0,98; 2,97).
17. Дана функция u = f (x; y; z), точка А (x0; y0; z0) и вектор (а1; а2; a3). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
u = x2 + u2 + z2; A (1; 1; 1); (1; 1; 1).
24 Вариант
1. Найти для функции
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
.
5. Найти
и y''xx
от функции, заданной параметрически:
6. Показать, что отрезок касательной к гиперболе , заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
7. Вычислить приближенно
8. Найти .
9. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке , найти соответствующее значение .
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,62, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f(x)=-4x3/3+2x2; [-1;3].
12. Вычислить наименьший периметр треугольника, построенного на прямоугольной системе координат, если две его вершины имеют координаты (0;2) и (6;2), а третья лежит на оси абсцисс.
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:
а)
б)
.
14. Составить уравнение касательной и нормальной плоскости к кривой
в точке t=
.
15. Найти полную производную сложной функции:
16. Дана функция z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С(x0;y0;z0).
z = 2xy + 3y2 – 5x; A (3; 4); B (3,05; 3,95).
17. Дана функция z = f (x; y), точки А (x0; y0) и А1(х1;y1). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
z = 5x2 -3x-y-1; A (2; 1); А1 (5; 5).