9 Вариант

1. Найти для функции .

2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:

3. Найти от функций, заданных неявно:

4. Найти от функции

5. Найти и y''_xx от функции, заданной параметрически:

6. В какой точке касательная к параболе параллельна оси ?

7. Найти приближенное значение

8. Найти .

9. Применима ли теоремы Ролля для функции на отрезке ?

10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,13, с точностью до 0,001.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = на отрезке [-1; 3].

12. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объемом 6, 28 м³. Каким должны быть его радиус и высота, чтобы на изготовление бака ушло наименьшее количество листовой стали?

13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:

а) б) .

14. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀.

15. Дана функция z = . Показать, что F =

16. Дана функция z = 2xy + 3y² – 5x и две точки А (3; 4) и В (3,05; 3,95). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С (3; 4; z_A).

17. Дана функция z = 3x⁴ + 2x²y² , точка А (-1; 3) и вектор (4; -3). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

10 Вариант

1. Найти для функции .

2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:

3. Найти от функций, заданных неявно:

4. Найти от функции

5. Найти и y''_xx от функции, заданной параметрически:

6. Составить уравнение касательной нормали к кривой в точке с абсцисс .

7. Найти приближенное значение

8. Найти .

9. Функция принимает значения, равные на концах интервала Убедиться в том, что производная этой функции нигде в нуль не обращается и объяснить такое уклонение от теоремы Ролля.

10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,59, с точностью до 0,001.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) =

12. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равно р₁ руб., а стенок р₂ руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материалы для его изготовления были наименьшими?

13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:

а) б) .

14. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀.

15. Дана функция z = . Показать, что F =

16. Дана функция z =xy + 2y² – 5x и две точки А (1; 2) и В (0,97; 2,03). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С (1; 2; z_A).

17. Дана функция z = 3x²y² + 5xy², точка А (-1; 1) и вектор (2; 1). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .