- •8.Вопросы по теме « ряды и интеграл фурье»
- •8.1Примеры скалярного произведения для функций одной переменной
- •8.4 Определение ряда фурье и его коэффициентов для функций с периодом 2пи
- •8.5 Теорема Дирихле для разложения в ряд Фурье с периодом 2 пи
- •8.6 Ряд Фурье для функции с произвольным интегралом
- •8.7 Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.
- •8.9 Комплексная формула для интеграла фурье
- •8.10Представление интеграла Фурье для четных и нечетных функций
- •9.Вопросы по теме «истоки операционного исчисленияы на примере преобразования Фурье»
- •9.1Преобразование Фурье (прямое и обратное) общего вида
- •9.2 Косинус-преобразование Фурье
- •9.3 Синус-преобразование Фурье
- •10 . Вопросы по теме «преобразование лаплпса».
- •11 Вопросы по теме «обыкновенные дифференциальные уравнения».
- •11.3 Понятие интеграла дифференциального уравнения
- •11.4 Задача Коши для дифференцмального уравнения
- •11.6 Понятие однородной функции двух переменных и однородного дифференциального уравнения.
- •11.7Уравнения в полных дифференциалах.
- •11.8 Неменее трех вариантов дифференциального уравнения с методом понижения его порядка
- •11.9 Линейные дифференциальные уравнения второго и высшего порядка Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения высших порядков
- •12 Вопросы по теме «линейные диф-ные уравнения и системы с постоянными коэф-ми»
- •12.3 Метод вариации произвольных постоянных решения линейных неоднородных уравнений
- •12.5 Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •12.6 Метод решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •13.Вопросы по теме»ряды и операционное исчисление решении Дифференциальных уравнений и систем
- •13.1Решение задачи Коши с помощью степенных рядов
- •13.2 Базовый подход к поиску общего решения дифференциального уравнения с помощью рядов
- •13.5 Базовый подход к решению задачи Коши для дифференциального уравнения с помощью операционного исчисления
- •13.6 Базовый подход к решению задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления
- •14 Вопросы по теме «понятие статистики»
12.5 Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Как и в случае линейных уравнений высших порядков, наиболее полно разработаны вопросы нахождения фундаментальной системы решений для однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
(5.45)
или в матричной форме
y'=Ay. (5.45а)
Будем искать решение системы (5.45) в виде
y=αert = (α1, α2,.., αn)Tert = (α1ert, α2ert,.., αnert)T (5.46)
Подставив это решение в (5.45), получаем равенство αrert =Aαert, откуда, сокращая на ert, можем записать αr = Aα или Aα-αr= Aα-Eαr = (A - rE)α =0. Последнее соотношение (A - rE)α =0 есть система для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы A. Таким образом, y=αert - решение системы (5.45) тогда, когда r- собственное число, а α - ему соответствующий собственный вектор матрицы A. Возможны два случая: 1) все собственные числа различны; 2) есть кратные собственные числа. Разберём эти возможности по отдельности.
В первом случае имеем n решений
Эта система функций линейно независима, так как её определитель Вронского отличен от нуля. Действительно,
Так как система векторов α1, α2,.., αn линейно независима, то получим n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
Во втором случае возможны два варианта. Пусть для собственного числа rj кратности k имеется линейно независимых собственных векторов αj1, αj2,.., αjk Этот вариант ничем не отличается от предыдущего случая. Во втором варианте для собственного числа rj кратности k имеется меньше чем k линейно независимых собственных векторов. Имеется два способа получения совокупности n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Первый основан на приведении матрицы к жордановой форме и изложен в [9,10]. Второй называется методом Эйлера и заключается в том, что для собственного числа rj соответствующие решения находятся в виде y=Pk-1(t)erjt где Pk-1(t) - вектор-функция, каждая координата которой есть полином степени не выше k-1 с неопределёнными коэффициентами, подлежащими определению. Подставляя это решение в (5.45), получаем соотношения для определения коэффициентов вектор-функции Pk-1(t).
Примеры
1. Для линейной системы дифференциальных уравнений матрица имеет собственные числа λ1=3 с соответствующим собственным вектором p1=(-1,1,3)T и λ2,3=-1 кратности 2 с собственными векторами p2=(1,1,0)T и p3=(2,0,-1)T. Поэтому фундаментальная система решений состоит из функций p1e3t, p2e-t, p3e-t, а общее решение имеет вид
.
12.6 Метод решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Система уравнений
(1)
или
,
где - заданная непрерывная на вектор-функция, - заданные постоянные числа и , называется неоднородной системой дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение системы (1) равно сумме
(2)
какого-либо ее частного решения и общего решения соответствующей однородной системы
. (3)
В самом деле, сумма (2) при любых постоянных есть, очевидно, решение системы (1):
.
А с другой стороны, если есть решение системы (1), то
,
но тогда для некоторых постоянных
.
Если известно общее решение однородной системы (3), то частное решение неоднородной системы (1) можно находить методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Пусть
- общее решение системы (3), т.е. - линейно независимые частные решения (3):
.
Будем считать функциями от и подберем их так, чтобы функция
(4)
была частным решением неоднородной системы (1). Дифференцируя, имеем
.
Подставляя значения и в (1’), получаем
,
или
.
Так, как , то для определения мы получаем систему
(5)
с непрерывными на вектор-функциями и .
Система (5) является линейной относительно с определителем, равным определителю Вронского системы векторов . Так как этот определитель не равен нулю, то система (5) имеет единственное решение: . Функции непрерывны, потому что непрерывны вектор-функции и .
Интегрируя, находим
.
Подставляя эти значения в (4), получаем частное решение системы (1).
Пример 1. Решить систему
Легко проверить, что
является общим решением однородной системы. Найдем частное решение неоднородной системы методом Лагранжа. Будем считать функциями от .
Тогда
Подставляя эти значения производных и сами функции в нашу систему, получаем
Определитель данной системы есть определитель Вронского
.
Поэтому система разрешима:
.
Интегрируя, получаем
.
Таким образом, частное решение имеет вид
.
Общее решение можно записать в форме
.
В векторной (матричной) форме это выглядит так:
.
Ниже на примерах будет показано, как можно найти частное решение системы (1), когда , где - заданные постоянные числа.
Частное решение линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда правые части имеют специальный вид ( или ), можно находить по аналогии с решением неоднородного дифференциального уравнения.
Пример 2. Решить систему
Сначала решаем однородную систему. Характеристическое уравнение
имеет корни . Значит, общее решение однородной системы запишется в виде
.
Свободным членам системы соответствуют числа 1 и 3. Число 1 не есть корень характеристического уравнения, а 3 есть его корень первой кратности. По аналогии, как для одного уравнения, полагаем
Подставляя эти функции в нашу систему, находим
Общее решение неоднородной системы запишется:
,
.